Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-01-2007 - 14:59

Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.


1728

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-04-2018 - 23:08

Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và
$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.

Sửa lại đề : "...$a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên KHÔNG ÂM đôi một khác nhau..."

------------------------------------------------------------

Đặt $a_1+a_2+...+a_n=S$ ($S\geqslant 3$)

Xét hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1\\a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2\\a_3x_1+a_4x_2+...+a_2x_n=yx_3\\...\\a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n \end{matrix}\right.$

Cộng tất cả lại, suy ra $S(x_1+x_2+...+x_n)=y(x_1+x_2+...+x_n)$

Ta có $2$ trường hợp :

1) $x_1+x_2+...+x_n=0$ :

    Khi đó $x_1=x_2=...=x_n=0$ và $y=1$ (để thỏa mãn $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$)

    Ta có bộ $(0;0;0;...;0;1)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

2) $x_1+x_2+...+x_n\neq 0$ :

    Khi đó ta có $y=S\geqslant 3$. Ta lại có $2$ trường hợp nhỏ :

    a) $\min(x_1,x_2,...,x_n)=\max(x_1,x_2,...,x_n)=m\neq 0$ (Nói cách khác $x_1=x_2=...=x_n=m\neq 0$)

        Khi đó cần chọn số nguyên dương $m$ sao cho $(m,S)=1$ (để thỏa mãn $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$)

        Ta có bộ $(m;m;m;...;m;S)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

    b) $\min(x_1,x_2,...,x_n)=m_1$ ; $\max(x_1,x_2,...,x_n)=x_k=m_2$ và $m_2> m_1$

        Khi đó ta có : $a_kx_1+a_{k+1}x_2+a_{k+2}x_3+...+a_{k-1}x_n< a_kx_k+a_{k+1}x_k+a_{k+2}x_k+...+a_{k-1}x_k=Sx_k=yx_k$

        (tức là phương trình thứ $k$ của hệ không thỏa mãn)

 

Tóm lại, các bộ số thỏa mãn điều kiện đề bài là :

    + Bộ $(0;0;0;...;0;1)$

    + Các bộ có dạng $(m;m;m;...;m;S)$, trong đó $S=a_1+a_2+a_3+...+a_n$ và $m$ là số nguyên dương sao cho $(m,S)=1$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:52

Sửa lại đề : "...a1,a2,...,ana1,a2,...,an là các số nguyên KHÔNG ÂM đôi một khác nhau..."

------------------------------------------------------------

Đặt a1+a2+...+an=Sa1+a2+...+an=S (S3S⩾3)

Xét hệ phương trình :

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪a1x1+a2x2+...+anxn=yx1a2x1+a3x2+...+a1xn=yx2a3x1+a4x2+...+a2xn=yx3...anx1+a1x2+...+an1xn=yxn{a1x1+a2x2+...+anxn=yx1a2x1+a3x2+...+a1xn=yx2a3x1+a4x2+...+a2xn=yx3...anx1+a1x2+...+an−1xn=yxn

Cộng tất cả lại, suy ra S(x1+x2+...+xn)=y(x1+x2+...+xn)S(x1+x2+...+xn)=y(x1+x2+...+xn)

Ta có 22 trường hợp :

1) x1+x2+...+xn=0x1+x2+...+xn=0 :

    Khi đó x1=x2=...=xn=0x1=x2=...=xn=0 và y=1y=1 (để thỏa mãn (x1,x2,...,xn,y)=1(x1,x2,...,xn,y)=1)

    Ta có bộ (0;0;0;...;0;1)(0;0;0;...;0;1) thỏa mãn điều kiện đề bài.

2) x1+x2+...+xn0x1+x2+...+xn≠0 :

    Khi đó ta có y=S3y=S⩾3. Ta lại có 22 trường hợp nhỏ :

    a) min(x1,x2,...,xn)=max(x1,x2,...,xn)=m0min(x1,x2,...,xn)=max(x1,x2,...,xn)=m≠0 (Nói cách khác x1=x2=...=xn=m0x1=x2=...=xn=m≠0)

        Khi đó cần chọn số nguyên dương mm sao cho (m,S)=1(m,S)=1 (để thỏa mãn (x1,x2,...,xn,y)=1(x1,x2,...,xn,y)=1)

        Ta có bộ (m;m;m;...;m;S)(m;m;m;...;m;S) thỏa mãn điều kiện đề bài.

    b) min(x1,x2,...,xn)=m1min(x1,x2,...,xn)=m1 ; max(x1,x2,...,xn)=xk=m2max(x1,x2,...,xn)=xk=m2 và m2>m1m2>m1

        Khi đó ta có : akx1+ak+1x2+ak+2x3+...+ak1xn<akxk+ak+1xk+ak+2xk+...+ak1xk=Sxk=yxkakx1+ak+1x2+ak+2x3+...+ak−1xn<akxk+ak+1xk+ak+2xk+...+ak−1xk=Sxk=yxk

        (tức là phương trình thứ kk của hệ không thỏa mãn)

 

Tóm lại, các bộ số thỏa mãn điều kiện đề bài là :

    + Bộ (0;0;0;...;0;1)(0;0;0;...;0;1)

    + Các bộ có dạng (m;m;m;...;m;S)(m;m;m;...;m;S), trong đó S=a1+a2+a3+...+anS=a1+a2+a3+...+an và mm là số nguyên dương sao cho (m,S)=1


 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh