Chủ đề này có 4 trả lời

[lehoan]

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$thỏa mãn đẳng thức sau: $P(x^2+2x+1)=P^2(x)+1$

[belly]

Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$thỏa mãn đẳng thức sau: $P(x^2+2x+1)=P^2(x)+1$

Lời giải:
Belly xin giải bài của anh lehoan như sau:
Đặt $Q(x)=P(x-1)\forall x\in \mathbb{R}$,thế thì đẳng thức của đề bài trở thành:

$Q(x^2+1)=Q^2(x)+1~~\forall x\in \mathbb{R} $ (1)

Ta sẽ chứng minh các bổ đề sau:
Bổ đề 1: Nếu $Q(x)$ là một đa thức hệ số thực hữu hạn bậc thỏa mãn (1) thì hoặc $Q(x)=Q(-x)\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $Q(x)=-Q(-x)\forall x\in \mathbb{R}$.
Chứng minh bổ đề 1:
Từ (1) ta có: $Q^2(x)=Q^2(-x)\forall x\in \mathbb{R}$ nên một trong hai tập sau phải có vô hạn phần tử:
$A=\{x\in \mathbb{R}| Q(x)=Q(-x)\}$
$B=\{x\in \mathbb{R}| Q(x)=-Q(-x)\}$
($\small A\cup B= \mathbb{R} $)
Và từ đó do $Q(x)$ là đa thức hệ số thực hữu hạn bậc nên ta có ngay bổ đề 1 được chứng minh.

Bổ đề 2: Chỉ tồn tại duy nhất một đa thức bậc lẻ hệ số thực thỏa mãn (1) là $Q(x)=x$
Chứng minh bổ đề 2:
Theo bổ đề 1 thì hoặc $Q(x)=Q(-x)\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $Q(x)=-Q(-x)\forall x\in \mathbb{R}$.
Do $Q(x)$ là một đa thức bậc lẻ $\lim\limits_{x\to +\infty}Q(x)$ và $\lim\limits_{x\to -\infty}Q(x)$ phải có một cái là $-\infty$ và một cái là $+\infty$nên nếu xảy ra trường hợp:$Q(x)=Q(-x)\forall x\in \mathbb{R}$thì rõ ràng $\lim\limits_{x\to +\infty}Q(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}Q(x)$ (viết thế này thực ra hơi sai nguyên tắc,nhưng để cho dễ hiểu thì có thể lý giải như vậy).Do vậy bắt buộc là $Q(x)=-Q(-x)\forall x\in \mathbb{R}$.(2.1)
Cho x=0 vào (2.1) thì ta có $Q(0)=0$.Xét dãy:$x_0=0;x_{n+1}=1+x_n^2\forall n\ge 0$ thì ta dễ dàng dùng quy nạp để có:$Q(x_n)=x_n\forall n\ge 0$ và do $(x_n)$ là dãy tăng ngặt nên phương trình $Q(x)=x$ có vô hạn nghiệm vì vậy mà $Q(x)=x\forall x\in \mathbb{R}$ và như vậy bổ đề 2 được chứng minh.

Bổ đề 3: Nếu $Q(x)$ là một đa thức hệ số thực hữu hạn bậc thỏa mãn (1) và $deg(Q)>1$ thì tồn tại một đa thức $Q_1(x)$ thỏa mãn (1) và thỏa mãn::

$Q(x)=Q_1(x^2+1)$

Chứng minh bổ đề 3:
Theo bổ đề 2, thì mọi đa thức bậc lớn hơn 1 thỏa mãn (1) đều phải có bậc chẵn. Xét đa thức $Q(x)$ là một đa thức hệ số thực hữu hạn bậc thỏa mãn (1) và $deg(Q)>1$ thì $deg(Q)\vdots 2$.
Lý luận về giới hạn khi tiến đến 2 vô cực như bổ đề 2 ,ta có phải bắt buộc có $Q(x)=Q(-x)\forall x\in \mathbb{R}$ và do đso thì trong biểu diễn của $Q(x)$ chỉ có các số hạng của lũy thừa số mũ chẵn của x.Tức là tồn tại biểu diễn:$Q(x)=P(x^2)$
hay thay đổi một chút ta có:$Q(x)=Q_1(x^2+1)$ với $Q_1(t)=P(t-1)$.Dễ dàng kiểm chứng rằng $Q_1$ cũng thỏa mãn (1) (thật vậy đặt$t=x^2+1$ thì $Q_1(t^2+1)-Q_1^2(t)-1=0\forall x\in \mathbb{R}$)
Vậy bổ đề 3 được chứng minh.
Chú ý: $deg(Q_1)=\dfrac{1}{2}deg(Q)$

Vào bài:
Trường hợp 1: nếu $deg(Q)=0$ ta dễ dàng thấy không tồn tại hàm thỏa mãn.

Trường hợp 2:nếu $deg(Q)>0$ giả sử nếu $deg(Q)=n=2^k.m(k\in N;m\not\vdots 2)$
Theo bổ đề 3,tồn tại các đa thức $Q_1,Q_2,..Q_k$ thỏa mãn:
$Q(x)=Q_1(x^2+1)$;
$Q_1(x)=Q_2(x^2+1)$;
...
$Q_{k-1}(x)=Q_k(x^2+1)$;
$Q_k(x)=x$
Như vậy $Q(x)$ phải là phần tử của dãy đa thức sau:

$\left\{\begin{array}{c}S_0(x)=x\\S_{k+1}(x)=S_k^2(x)+1\end{array}\right$
Chuyển về P ta có $P(x) $ phải nằm trong dãy:

$\left\{\begin{array}{c}T_0(x)=x+1\\T_{k+1}(x)=T_k^2(x)+1\end{array}\right$
Và ngược lại đó chính là tất cả các đa thức cần tìm.

Các bạn cũng có thể dùng kiểu tạo dãy để giải bài toán này tuy nhiên sử dụng pp đó theo mình thì sẽ không hiệu quả khi giải bài sau:

Bài toán:Cho $n\in N^*,n>1$Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực với bậc hữu hạn thỏa mãn:

$P(x^n+x+1)=P^n(x)+P(x)+1\forall x\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi belly: 10-02-2007 - 04:03

[lehoan]

Thêm một bài nữa nhé: Cho $P$ và $Q$ là hai đa thức cùng bậc với hệ số thực thỏa mãn hệ thức:

$P(Q^2(x))=Q(P^2(x)). $ Chứng minh rằng $P=Q$.

[vnm]

có vài bài đa thức hay hay gửi lên luôn:
1,Tìm mọi đa thức $P(x)\in R[x]$ thỏa mãn
$P(Q(x))=Q(P(x))$ với mọi $x\in R$ với $Q(x)=x^n-1$
bài này giải cũng không khác cách của belly;
2,Tìm mọi đa thức $P(x)\in Z[x]$ thỏa mãn
$P((x+1)^n)={P(x)}^n+(x+1)^n-x^n$ với mọi $ x\in R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vnm: 10-02-2007 - 16:31

[KhùngLãoQuái]

Lời giải của Belly là 1 lời giải đúng , đầy đủ , hay

Nói ngắn gọn là quá tuyệt vời