Tìm số thực $k$ nhỏ nhất sao cho $\dfrac{x_1x_2+2x_2x_3+x_3x_4}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}\leq k$ với mỗi bộ 4 các số thực $(x_1,x_2,x_3,x_4) \neq (0,0,0,0)$.
#2
Đã gửi 23-01-2007 - 11:12
manutd
-
- Thành viên
-
- 609 Bài viết
Thiếu úy
bài này MU ra được $k=1+\sqrt 2$
không thể online nhiều được nữa, hẹn gặp lại diễn đàn trong một ngày gần đây
#3
Đã gửi 23-01-2007 - 12:12
tmbtw
-
- Thành viên
-
- 233 Bài viết
Thượng sĩ
1 bài Sử dụng AM-GM chọn hệ số .
Ta chọn 1>a>0 sao cho :
$x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}\geq{2\sqrt{a}x_{1}x_{2}}$
$x_{4}^{2}+ax_{3}^{2}\geq{2\sqrt{a}x_{3}x_{4}}$
Và tt .Ta chọn a sao cho $1-a=2\sqrt{a}$
Từ đó có k/q
Ta chọn 1>a>0 sao cho :
$x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}\geq{2\sqrt{a}x_{1}x_{2}}$
$x_{4}^{2}+ax_{3}^{2}\geq{2\sqrt{a}x_{3}x_{4}}$
Và tt .Ta chọn a sao cho $1-a=2\sqrt{a}$
Từ đó có k/q
Play the game of life with the attitude of playing to win and not with the attitude of playing not to lose
#4
Đã gửi 23-01-2007 - 12:27
QUANVU
-
- Hiệp sỹ
-
- 4378 Bài viết
B&S-D
Chú post lời giải lên đây xem nào? Anh được biết đáp số là $\Large{\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}}$!bài này MU ra được $k=1+\sqrt 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QUANVU: 23-01-2007 - 12:28
1728
#5
Đã gửi 23-01-2007 - 15:20
manutd
-
- Thành viên
-
- 609 Bài viết
Thiếu úy
cách giải của em cũng giống như tmbtw thôi. Giả sử ta đã tìm được $k$ thỏa mãn, ta có:
$2kx_1^2+\dfrac{1}{2k}x_2^2 \ge 2x_1x_2$
$(2k-\dfrac{1}{2k})(x_2^2+x_3^2) \ge 2(2k-\dfrac{1}{2k})x_2x_3$
$\dfrac{1}{2k}x_3^2+2kx_4^2 \ge 2 x_3x_4$
đến đây ta chọn $k$ thỏa để $2k-\dfrac{1}{2k}=2$, được $k=\dfrac{1+\sqrt 2}{2}$.
Muốn phủ định các giá trị $k < \dfrac{1+\sqrt 2}{2}$, ta chọn bộ $(x_1;x_2;x_3;x_4)$ để cho dấu bằng trong các bdt trên xảy ra, với $k=\dfrac{1+\sqrt 2}{2}$.
$2kx_1^2+\dfrac{1}{2k}x_2^2 \ge 2x_1x_2$
$(2k-\dfrac{1}{2k})(x_2^2+x_3^2) \ge 2(2k-\dfrac{1}{2k})x_2x_3$
$\dfrac{1}{2k}x_3^2+2kx_4^2 \ge 2 x_3x_4$
đến đây ta chọn $k$ thỏa để $2k-\dfrac{1}{2k}=2$, được $k=\dfrac{1+\sqrt 2}{2}$.
Muốn phủ định các giá trị $k < \dfrac{1+\sqrt 2}{2}$, ta chọn bộ $(x_1;x_2;x_3;x_4)$ để cho dấu bằng trong các bdt trên xảy ra, với $k=\dfrac{1+\sqrt 2}{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manutd: 23-01-2007 - 15:20
không thể online nhiều được nữa, hẹn gặp lại diễn đàn trong một ngày gần đây
#6
Đã gửi 23-01-2007 - 16:18
QUANVU
-
- Hiệp sỹ
-
- 4378 Bài viết
B&S-D
Khéo ra phết, đây là lời giải anh biết.
Đặt $\sqrt{x_2^2+x_3^2}=u,\sqrt{x_1^2+x_4^2}=v,u\geq 0,v\geq 0,u+v>0$.
Ta có $2x_2x_3\leq u^2$ và $x_1x_2+x_3x_4\leq uv$.
Do đó biểu thức cần đánh giá không lớn hơn $f(u,v)=\dfrac{u^2+uv}{u^2+v^2}$.
Nếu u=0 thì f(u,v)=0. Xét u>0, lúc này $2+\dfrac{1}{f(u,v)}=2\sqrt{2}+(\sqrt{\dfrac{v+u}{u}}-\sqrt{\dfrac{2u}{v+u}})^2\geq 2\sqrt{2}$.
Suy ra $f(u,v)\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}-2}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$.
Đặt $\sqrt{x_2^2+x_3^2}=u,\sqrt{x_1^2+x_4^2}=v,u\geq 0,v\geq 0,u+v>0$.
Ta có $2x_2x_3\leq u^2$ và $x_1x_2+x_3x_4\leq uv$.
Do đó biểu thức cần đánh giá không lớn hơn $f(u,v)=\dfrac{u^2+uv}{u^2+v^2}$.
Nếu u=0 thì f(u,v)=0. Xét u>0, lúc này $2+\dfrac{1}{f(u,v)}=2\sqrt{2}+(\sqrt{\dfrac{v+u}{u}}-\sqrt{\dfrac{2u}{v+u}})^2\geq 2\sqrt{2}$.
Suy ra $f(u,v)\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}-2}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$.
1728
#7
Đã gửi 24-01-2007 - 21:42
supermember
-
- Hiệp sỹ
-
- 1647 Bài viết
Đại úy
Bài này em đọc lời giảiTìm số thực $k$ nhỏ nhất sao cho $\dfrac{x_1x_2+2x_2x_3+x_3x_4}{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}\leq k$ với mỗi bộ 4 các số thực $(x_1,x_2,x_3,x_4) \neq (0,0,0,0)$.
thấy họ làm như thế này (T.Anh khó dịch quá!!).Đặt a=$\dfrac{\sqrt{2}+1}{2},b=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2} $.Khi đó $\sqrt{ab}=\dfrac{1}{2},a=b+1$.Sau đó ta có $ 0 \leq (x_1\sqrt{a}-x_2\sqrt{b})^2+(x_2-x_3)^2+(x_3\sqrt{b}-x_4\sqrt{a})^2=a(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)-(x_1x_2+2x_2x_3+x_3x_4) $.Vậy $a=\dfrac{\sqrt{2}+1}{2} $ là số cần tìm.. 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducpbc: 24-01-2007 - 21:43
Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui 
#8
Đã gửi 24-01-2007 - 22:36
QUANVU
-
- Hiệp sỹ
-
- 4378 Bài viết
B&S-D
Lời giải của em post cũng chính là lời giải mà manutd đã post mà? Cái lời giải kia là do anh đọc từ ban tổ chức cuộc thi này đấy.
Cái lời giải kia là do anh đọc từ ban tổ chức cuộc thi này đấy.
1728
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
