Chủ đề này có 17 trả lời

[vanhoa]

Bài 1: Cho các số thực dương ${a_i}|_{i=1}^n$ thõa mãn:
$ \left\{\begin{array}{l}a_1+a_2+...+a_n \le 1\\a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 \le 1\\ \vdots \\a_1^{n-1}+a_2^{n-1}+...+a_n^{n-1} \le 1\end{array}\right. $

Tìm Max và min của S=$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n$

nếu thêm điều kiện $S \le 1$
Tìm Max và min của T=$a_1+a_2^2+...+a_n^n$

Dễ hay khó nhỉ.

[hikaru123]

Bài 1: Cho các số thực dương ${a_i}|_{i=1}^n$ thõa mãn:
$ \left\{\begin{array}{l}a_1+a_2+...+a_n \le 1\\a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 \le 1\\ \vdots \\a_1^{n-1}+a_2^{n-1}+...+a_n^{n-1} \le 1\end{array}\right. $

Tìm Max và min của S=$a_1^n+a_2^n+...+a_n^n$

nếu thêm điều kiện $S \le 1$
Tìm Max và min của T=$a_1+a_2^2+...+a_n^n$

Dễ hay khó nhỉ.

Em thấy cái điều kiện nó đã ko ổn rồi. do $a_i$ là các số thực dương mà $ \sum\limits_{i=1}^{n} {a}_{i}$ 1
$0<{a}_{i}<1$. Thế thì các điều kiện sau là ko cần thiết và đương nhiên cũng ko xảy ra dấu = ở đó.
Tìm min của S thì lấy ${a}_{i}$ càng nhỏ thì S cảng nhỏ

[hikaru123]

Có nhầm ko nhỉ? $a_i$ ko âm thì đương nhiên minS=minT=0???
$0<a_i \leq 1$ maxS=maxT=1??

[vanhoa]

Ok, đó là 1 bài dễ, và bây giờ là bài 2:

Bài 2: Cho các số thực ${a_i}|_{i=1}^n$ thõa mãn:
$ \left\{\begin{array}{l}a_1+a_2+...+a_n \le 1\\a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 \ge 1\\ \vdots \\(a_1^{n-1}+a_2^{n-1}+...+a_n^{n-1})*(-1)^{n} \le 1\end{array}\right. $

Tìm Max và min của $T_2=a_1+a_2^2+...+a_n^n$

Có lẽ chưa khó lắm nhỉ, hãy giải quyết nhanh gọn bài này để sang bài 3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanhoa: 25-01-2007 - 21:54

[T*genie*]

Nếu lũy thừa chẵn thì nếu lẻ thì .

Bác kt lại cái đề xem, ở mối quan hệ cuối cùng chỉ số mũ và chỉ số lũy thừa có cùng một kí hiệu n không? n từ đâu đến đâu?
Chúng cùng kí hiệu nghe có vẻ vô lý nhờ.
Còn nếu chúng khác kí hiệu với n=3 ta có $ a_{1}^{2}+a_{2}^{2}$+...+ $ a_n^{2}$ -1(!?)
--->logic của bài toán không ổn(!?)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T*genie*: 04-02-2007 - 10:37

[fecma21]

Ok, đó là 1 bài dễ, và bây giờ là bài 2:

Bài 2: Cho các số thực ${a_i}|_{i=1}^n$ thõa mãn:
$ \left\{\begin{array}{l}a_1+a_2+...+a_n \le 1\\a_1^2+a_2^2+...+a_n^2 \ge 1\\ \vdots \\(a_1^{n-1}+a_2^{n-1}+...+a_n^{n-1})*(-1)^{n} \le 1\end{array}\right. $

Tìm Max và min của $T_2=a_1+a_2^2+...+a_n^n$

Có lẽ chưa khó lắm nhỉ, hãy giải quyết nhanh gọn bài này để sang bài 3.

hì hì đúng là bài này không khó lắm vì thực chất nó không giải được ...... bạn đánh bài thứ 3 lên được rồi đấy

dựa vào nhận xét là cứ mũ lẻ thì $\ A = \ sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2.k+1} \leq 1 $

còn với mũ chẵn thì $\ B = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2.k} \geq 1 $

=> nếu ta chọn $\ a_{1} = a_{2} =..... = a_{{n-1}} = 0 ; $ còn $\ a_{{n}} = - \infty $

thì thỏa mãn tất cả dữ kiện vì mũ lẻ thì $\ A = a_{{n}}^{2.k+1} -> - \infty \leq 1 $ ( dĩ nhiên )

-> $\ T = a_{{n}}^n $ sẽ tiến tới vô cùng ( tính sao được )

[vanhoa]

Hay lắm fecma:).

Bác kt lại cái đề xem, ở mối quan hệ cuối cùng chỉ số mũ và chỉ số lũy thừa có cùng một kí hiệu n không? n từ đâu đến đâu?
Chúng cùng kí hiệu nghe có vẻ vô lý nhờ.
Còn nếu chúng khác kí hiệu với n=3 ta có +...+ -1(!?)
--->logic của bài toán không ổn(!?)

Xin lỗi, đánh nhầm:P, phải là lẻ thì nhỏ chẵn thì lớn.

Ok, Bài 1 thì quá dễ nhìn là ra ngay, bài 2 lại càng dễ vì kết quả là vô cực, và bây giờ lại tiếp tục một bài dễ nữa.
Bài 3: Cho các số thực $\LARGE {a_i}|_{i=1}^n$ thõa mãn:
$\LARGE \left\{\begin{array}{l}a_1+a_2^2+...+a_n^n \le 1\\a_1^2+a_2^3+...+a_n \le 1\\ \vdots \\(a_1^{n}+a_2+...+a_n^{n-1} \le 1\end{array}\right$
Tìm max và min của $\LARGE T_i=a_1^i+a_2^i+...+a_n^i|_{i=1}^n$
Có lẽ khoảng 4 dòng nháp nhỉ .

[fecma21]

Hay lắm fecma:).
Xin lỗi, đánh nhầm:P, phải là lẻ thì nhỏ chẵn thì lớn.

Ok, Bài 1 thì quá dễ nhìn là ra ngay, bài 2 lại càng dễ vì kết quả là vô cực, và bây giờ lại tiếp tục một bài dễ nữa.
Bài 3: Cho các số thực $\LARGE {a_i}|_{i=1}^n$ thõa mãn:
$\LARGE \left\{\begin{array}{l}a_1+a_2^2+...+a_n^n \le 1\\a_1^2+a_2^3+...+a_n \le 1\\ \vdots \\(a_1^{n}+a_2+...+a_n^{n-1} \le 1\end{array}\right$
Tìm max và min của $\LARGE T_i=a_1^i+a_2^i+...+a_n^i|_{i=1}^n$
Có lẽ khoảng 4 dòng nháp nhỉ .

trời ơi , lại một bài kiểu ' quái lạ ' nữa ; ... nhưng đáp số bài này vẫn có thể ra vô cùng :-0 (sao bạn hay ra kiểu này thế ... xét TH tính mỏi mắt luôn

VD nhé n là số lẻ : $\ n = 2.k+1 $ lại dựa vào nhận xét tất cả các tổng đề bài cho đều có n-1 số mũ

chẵn lẻ liên tiếp từ 1 -> n-1 ; => viết lại thành $\ M = (a_{1}^{i}+a_{2}^{i+1})+....(a_{n-2}^{k}+a_{n-1}^{k+1} +a_{{n}}^t $ ( i,k,t là các số tượng trưng)

nếu ta cho (n-1) số $\ a_{1};a_{2};....a_{{n-1}} $ với $\ a_{1} = a_{3} =...=a_{n-2} = F ; $

và $\ a_{2} = a_{4} =...=a_{n-2} = -F ; $ và $\ a_{{n}} = 0 $ ( hay 1 cũng được )

thì $\ S_{i} = (n-1).F^{i} $ ( nếu i chẵn ) sẽ tiến ra vô cùng .....

chán quá không có bài nào có thể ra hẳn đáp số ;

những bài này nếu bạn cho các số thực dương thì lại dẽ quá ; còn nếu cho chỉ là thực thì .... chịu thôi .

[vanhoa]

Ok, hồi đó (lớp 6) thầy mình cho mấy bài này... làm cả buổi mãi mà cứ ra "ko xác định" (hồi đó không biết gọi vô cực) hôm sau thầy giải thì đúng là vô cực thật... Chắc thầy chỉ là ra mấy bài để thử lập trường của học sinh .

[fecma21]

xin lỗi các bạn ; lời giải trên của mình có chút nhầm lẫn nhwung vẫn có thể chỉnh sửa được cho rõ ràng ra

đó là sau bao nhiêu lần đổi bậc mũ thì do $ a_{1};a_{2} $ số mũ # tình chẵn lẻ nên n luôn chẵn

nếu ta cho (n-2) số $\ a_{1};a_{2};....a_{{n-2}} $ với $\ a_{1} = a_{3} =...=a_{n-3} = F ; $

và $\ a_{2} = a_{4} =...=a_{n-2} = -F ; $ và $\ a_{{n-1}} = a_{{n}} = 0 $ ( hay 1 số =1 cũng được )

thì $\ S_{i} = (n-2).F^{i} $ ( nếu i chẵn ) sẽ tiến ra vô cùng .....

có lẽ vanhoa cũng không để ý tơi chỗ này ; lần sau mình sẽ để ý thật kỹ .

[Nguyễn Thái Trúc Vy]

CHo a,b.c [0,1]
CMR a^{2}+ b^{2}+c^{2} a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a

[thuantd]

CHo a,b.c [0,1]
CMR a^{2}+ b^{2}+c^{2} a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a

Có bị nhầm đề ko nhỉ? Vì a, b, c lấy trong đoạn [0,1] nên bất kỳ số x nào nhân với a, b, hoặc c đều cho kết quả nhỏ hơn x. Vậy thì vế trái ở trên không thể nhỏ hơn vế phải, trong một số trường hợp thì có thể bằng nhau.

[supermember]

CHo a,b.c :in [0,1]
CMR a^{2}+ b^{2}+c^{2} :leq a^{2}b+ b^{2}c+ c^{2}a

Chắc đề là thế này :$a^2+b^2+c^2 \leq a^2b+b^2c+c^2a+1 $.Bài này đơn giản rùi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fecma21: 12-02-2007 - 15:30

[dtdong91]

bài đó đưa lại về bài sau
CHo a,b,c [0,1].CMR a(1-b)+b(1-c)+c(1-a) 1
Bài này dễ rùi có thể dùng pp hình học để c/m là dựng tam giác đều ABC có cạnh là 1 trên đó lấy AM=a, BN=b, CP=c
Rùi dùng diện tích mà c/m thui

[Nguyễn Thái Trúc Vy]

Sorry mình lỡ xóa bài này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Thái Trúc Vy: 27-02-2007 - 22:10

[dtdong91]

Sửa lại bài cho bạn thành
$ x^2 y+y^2 z+z^2 x \leq \dfrac{4}{27}$
Bài này cũng dễ thui
có thể xài trực tiếp dồn biến f(a,b,c) f(a+b,c,0) với a max
CÒn cũng có thể dùng Cô-si cũng được nhưng phỉa mẹo một chút

[supermember]

Sửa lại bài cho bạn thành
$ x^2 y+y^2 z+z^2 x \leq \dfrac{4}{27}$

Bài này còn 1 cách khác:Giả sử x=max{x,y,z}.Xét hiệu:$(x+\dfrac{z}{2})^2(y+\dfrac{z}{2})-x^2y-y^2z-z^2x=(x-y)yz+\dfrac{(x-z)xz}{2}+\dfrac{yz^2}{4}+\dfrac{z^3}{8} \geq 0 $.Khi đó nếu z>0 ta thay $x'=x+\dfrac{z}{2},y'=y+\dfrac{z}{2} $ta được tổng lớn hơn.Vậy $x^2y+y^2z+z^2x $ đạt max khi z=0.khi đó ta xét max của $x^2y $ với x+y=1.Ta có $2x^2y \leq (\dfrac{2x+2y}{3})^3=\dfrac{8}{27} $ => đpcm.Dấu bằng đạt khi (x.y.z)=($\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},0$) và các hoán vị

[Nguyễn Thái Trúc Vy]

ok .Thank you

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Thái Trúc Vy: 27-02-2007 - 22:00