Đến nội dung


Hình ảnh

Có tồn tại hay không số $n$ thỏa $a(n^2+1)=7a(n)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 pnt

pnt

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP.hcm
  • Sở thích:Giải tích, Đại số, Hình học, Số học, Lượng giác, Topo, Toán rời rạc, Toán thông kê.

Đã gửi 31-03-2005 - 21:51

Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu $a(n)$ là số chữ số $1$ của $n$ (trong hệ thập phân).
Có tồn tại hay không số $n$ thỏa $a(n^2+1)=7a(n)$
độc lập ,tự do muôn năm!!!!!!!!!!!!!

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 16-01-2013 - 21:12

Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu $a(n)$ là số chữ số $1$ của $n$ (trong hệ thập phân).
Có tồn tại hay không số $n$ thỏa $a(n^2+1)=7a(n)$

Đôi khi ta giải được bài toán nhanh gọn trong một quá trình suy nghĩ
Suy nghĩ: Ta cần cm tồn tại $111...1000..0<n^2+1<111...11200...0$ với $7x$ số $1$ ở số $111...1000..0$ và $7x-1$ số $1$ ở số còn lại, đồng thời $k$ số $0$ ở cả hai số để đảm báo $n^2+1$ đã có ít nhất $7x$ số $1$
Hay ngắn gọn ta có thể tìm $111...1000..0<n^2<111...11200...0$ khai căn hai vế được $n$ có dạng $\overline{100...xyz}$ hoặc $n$ có dạng $\overline{333...abc}$
Điều này vô tình dẫn ta đến các hằng đẳng thức quen thuộc $334^2=1156$ giờ chặn để $n$ có số $1$ thì $n=331$ và $n^2+1=109562$
Từ đó ta có lời giải sau
Giải như sau:
Tổng quát hóa bài toán: Với mỗi $k\in N^{*}$ luôn có số $n$ sao cho $a(n^2+1)=ka(n)$
Chọn $n=333...31$ với $k+1$ số $3$ khi ấy ta có $a(n)=1$ ta sẽ cm $a(n^2+1)=ka(n)=k$
Ta sẽ cm quy nạp rằng $n=33..331$ ($k+1$ số $3$) thì $n^2+1=11..10955...562$ với $k$ số $1$ và $k$ số $5$
Giả sử đúng đến $k$ hay $a_k=33..331$ ($k+1$ số $3$) thì $a_k^2+1=11..10955...562$ với $k$ số $1$ và $k$ số $5$
Ta sẽ cm đúng đến $k+1$ hay $a_{k+1}=33..331^2$ ($k+2$ số $3$) thì $a_{k+1}^2+1=11..10955...562$ với $k+1$ số $1$ và $k+1$ số $5$
Ta thấy $a_{k+1}^2+1=(10a_k+21)^2+1$
$=100a_k^2+420a_k+442=100(a_k^2+1)+420a_k+342$
$=11..10955...56200+420a_k+342$ với $k$ số $1$ và $k$ số $5$
Lại có $a_k=\dfrac{10^{k+1}-1}{3}-2$
Do đó $a_{k+1}^2+1=11..10955...56200+420a_k+342$
$=11..10955...56200+140(10^{k+1}-1)-498$
$=11..10955...56200+140.10^{k+1}-638$ dễ cm đúng bằng $11..10955...562$ với $k+1$ số $1$ và $k+1$ số $5$
Như vậy chọn $n=a_k$ thì bài toán được giải
Do đó bài toán tổng quát được cm, áp dụng vào bài suy ra câu trả lời là có, điển hình $n=33...331$ với $8$ số $1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 16-01-2013 - 21:15


#3 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-02-2013 - 20:06

Chấm điểm:
nguyenta98: 10 điểm

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh