3 replies to this topic

[HUYVAN]

Tìm tất cả các hàm $f:N->N$ thỏa mãn:
$\dfrac{1}{f(1).f(2)}+\dfrac{1}{f(2).f(3)}+..... +\dfrac{1}{f(n).f(n+1)}=\dfrac{f(f(n))}{f(n+1)}$, với $n\in N$

[TamTam]

Bài này là hệ quả của bài thi dự tuyển quốc tế thì phải.
Mình cùng viết qua lời giải một tí nhé.
Trước hết, $f(n)$ khác 0 với mọi $n$.
Thay $n = 1 $ vào đẳng thức đã cho có $f(f(1)).f(1) = 1$ suy ra $f(1) = 1$.
Sau đó thay hai giá trị $n$ và $n+1$ vào đẳng thức đã cho, so sánh chúng, rút ra được :
$f(f(n)).f(n+2)+1 = f(f(n+1)).f(n+1)$
Nhận thấy nếu $f(n+1) = 1$ thì kéo theo $f(f(n+1)) = 1$ do $f(1) = 1$, suy ra $f(f(n)).f(n+2) = 0$, vô lý. Vậy $f(n)$ > 1 với mọi $n$ > 1.
Cuối cùng ta chứng minh bằng quy nạp rằng $f(n+1)$ > $f(f(n))$.
Đến đây, chắc có lẽ bài bất phương trình hàm này ai cũng biết nhỉ!!!

Edited by TamTam, 31-01-2007 - 22:19.

[HUYVAN]

Bài này là hệ quả của bài thi dự tuyển quốc tế thì phải.
Mình cùng viết qua lời giải một tí nhé.
Trước hết, $f(n)$ khác 0 với mọi $n$.
Thay $n = 1 $ vào đẳng thức đã cho có $f(f(1)).f(1) = 1$ suy ra $f(1) = 1$.
Sau đó thay hai giá trị $n$ và $n+1$ vào đẳng thức đã cho, so sánh chúng, rút ra được :
$f(f(n)).f(n+2)+1 = f(f(n+1)).f(n+1)$
Nhận thấy nếu $f(n+1) = 1$ thì kéo theo $f(f(n+1)) = 1$ do $f(1) = 1$, suy ra $f(f(n)).f(n+2) = 0$, vô lý. Vậy $f(n)$ > 1 với mọi $n$ > 1.
Cuối cùng ta chứng minh bằng quy nạp rằng $f(n+1)$ > $f(f(n))$.
Đến đây, chắc có lẽ bài bất phương trình hàm này ai cũng biết nhỉ!!!

Giải quyết nốt luôn đi chứ TamTam . Bài bất phương trình hàm này là đề thi IMO luôn thì phải!

[TamTam]

Ta chứng minh $f(f(n))$ < $f(n+1)$ bằng quy nạp toán học.
Thật vậy, BĐT đúng với $n = 1$ vì $f(2)$ > $f(f(1)) = 1$.
Giả sử $f(n+1)$ > $f(f(n))$, khi đó $f(n+1)$ ≥ $f(f(n))$. Vậy :
$f(f(n)).f(n+2)+1$ > $f(f(n+1)).f(f(n))+f(f(n+1))$
Vì $n+1$> 1 nên ta có $f(n+1)$>1 suy ra $f(f(n+1))$ > 1, kéo theo
$f(n+2)$>$f(f(n+1))$
Vậy $f(f(n))$ < $f(n+1)$ (1) rồi nhá !!
Ta có $f(n+1)$ ≥ 1. Đặt $f_2(n) = f(n+1)-1$ thì $f_2$ là hàm số từ $N$ vào $N$. Để ý
$f_2(n)+1 = f(n+1)$ > $f(f(n)) = f_2f(_2(n-1))+1$
nên $f_2$ cũng là nghiệm của (1).
Từ điều kiện (1) chứng minh bằng quy nạp theo k, ta cũng có $f(n+k)$ ≥ k, với $k = 0$ ta có $f(n)$ ≥ n với mọi n. Suy ra $f(n+1)$>$f(f(n))$>$f(n)$ hay f tăng ngặt.
Suy ra $n+1$>$f(n)$≥$n$ hay $f(n) = n$.
Phù!! Mệt quá, xong nhá!!!

Edited by TamTam, 06-02-2007 - 15:16.