Chủ đề này có 3 trả lời

[Nia_T2]

Giải dùm mình hai bày này bằng phương pháp dồn biến :
Bài 1:
Cho a,b,c $\geq$ 0,chứng minh rằng:
$ a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$$\geq$ $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$
Bài 2:
Cho a,b,c là 3 số thực dương và có tích bằng 1.Chứng minh rằng :
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{6}{a+b+c}\geq5$
P/S:các bác giải chi tiết cho mình nha!

[auhongan_au]

Giải dùm mình hai bày này bằng phương pháp d?#8220;n biến :
Bài 1:
Cho a,b,c $\geq$ 0,chứng minh rằng:
$ a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$$\geq$ $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$
Bài 2:
Cho a,b,c là 3 số thực dương và có tích bằng 1.Chứng minh rằng :
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{6}{a+b+c}\geq5$
P/S:các bác giải chi tiết cho mình nha!

bai 1 thuc ra bat dang thuc schur ,dung phuong phap S.O.S ngoai ra con dung dao ham de giai 1 cach giai don gian lam
neu don bien chu y cac bien a,b,c ko bi dinh rang buot nen co the ap dung bat cu dang trung binh nao cung dc.TOi chi dua ra loi giai bang sos ko biet ban chiu ko day

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi auhongan_au: 03-03-2007 - 17:13

[vo thanh van]

Giải dùm mình hai bày này bằng phương pháp dồn biến :
Bài 1:
Cho a,b,c $\geq$ 0,chứng minh rằng:
$ a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$$\geq$ $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$
Bài 2:
Cho a,b,c là 3 số thực dương và có tích bằng 1.Chứng minh rằng :
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{6}{a+b+c}\geq5$
P/S:các bác giải chi tiết cho mình nha!

Hai bài này là những bài cơ bản,tiêu biểu cho pp dồn biến với 3 biến,một cách dồn biến thông thường là dồn về TBC và TBN.Với bài 2 thì ta nên giả sử $a =max{a,b,c}$ để dễ cm hơn.
@auhongan_au:Sử dụng pp SOS cũng là một pp hay để giải .Bài 1 ta cũng có thể cm bằng cách khác đơn giản hơn là gs $a \geq b \geq c $ rồi biến đổi tương đương một chút

[lyxuansang91]

Giải dùm mình hai bày này bằng phương pháp dồn biến :
Bài 1:
Cho a,b,c $\geq$ 0,chứng minh rằng:
$ a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$$\geq$ $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$
Bài 2:
Cho a,b,c là 3 số thực dương và có tích bằng 1.Chứng minh rằng :
$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{6}{a+b+c}\geq5$
P/S:các bác giải chi tiết cho mình nha!

Post lời giải bài 1 :
CMR với $ a,b,c \geq 0 $ thì :
$ a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3abc \geq a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) $
Xét f(a,b,c) = VT - VP
Giả sử rằng : $a = Max(a,b,c) $
Đặt $ \sqrt{bc} = t $
Chuẩn hóa $a + b + c =1 $
Ta Cm : $ d = f(a,b,c) - f(a,t,t) \geq 0 $
$ d = 2(b^{3} + c^{3} - 2t^{3}) + 2t^2 - (b^2 + c^2) \geq 0 $
$ \Leftrightarrow 2(b\sqrt{b) - c\sqrt{c})^2 - (b-c)^2 \geq 0 $
Hiển nhiên đúng vì $t^2 \geq b^{2} + c^{2} $ và a = Max(a,b,c)
Đến bước cuối thì không cần chuẩn hóa nữa vì :
$f(a,t,t) = a(a-t)^{2} $
Và bài toán đã được chứng minh xong