Hình như cái này là bất đẳng thức Marlaunn đặt $\large\ a=x_1;b=x_2;c=x_3;d=x_4 $ ta cm:
$\large\sqrt[3]{\sum\limit_{i<j<k} \dfrac{x_i.x_j.x_k}{4}} \leq sqrt{\sum\limit_{i<j} \dfrac{x_i.x_j}{6}}$.
Đặt f(x)=$\large\ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=x^4-(\sum x_i)x^3+(\sum x_ix_j)x^2-(\sum x_ix_jx_k)x+x_1x_2x_3x_4$
f'{x)=$\large\ 4x^3-3(\sum x_i)x^3+2(\sum x_ix_j)x^2-(\sum x_ix_jx_k)$.
Áp dụng định lí Lagrange => f'(x) có 3 nghiệm $\large\ y_1;y_2;y_3 $
=>f'(x)=$\large\ 4(x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)$
Đ?#8220;ng nhất hệ số =>
$\large\dfrac{1}{4}\sum x_ix_jx_k=y_1y_2y_3$
$\large\dfrac{1}{2}\sum x_ix_j=\sum y_iy_j$
Cauchy $\large\ y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1 \geq 3\sqrt[3]{(y_1y_2y_3)^2}$ => dpcm.....
Bài này là bài thi HSG truyền thống HCM và cũng là bài thi HSG của Đức ,em chỉ biết cách đạo hàm à, còn có cách nữa chắc CM tương đương (Em bó tay chỉ biết 1 cách)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doanquocdung: 27-03-2007 - 21:43
