2 replies to this topic

[Hero TVƠ]

bài này xưa rồi nhưng rất đặc sắc
không dể đối với những người không có quá nhiều công cụ
Thử sức nhé
Cho a,b,c,d là các số dương
cM
$ sqrt{\dfrac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}} $không nhỏ hơn
$\sqrt[3]{ \dfrac{abc+acd+abd+cda}{4}} $ (căn bậc ba)
khôn có xài mấy thứ như đạo hàm đâu nha
công cụ quá mạnh làm mất vẻ đẹp của bài toán

Edited by loclinh, 27-03-2007 - 20:17.

[MyLoveIs4Ever]

Hình như cái này là bất đẳng thức Marlaunn đặt $\large\ a=x_1;b=x_2;c=x_3;d=x_4 $ ta cm:
$\large\sqrt[3]{\sum\limit_{i<j<k} \dfrac{x_i.x_j.x_k}{4}} \leq sqrt{\sum\limit_{i<j} \dfrac{x_i.x_j}{6}}$.
Đặt f(x)=$\large\ (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=x^4-(\sum x_i)x^3+(\sum x_ix_j)x^2-(\sum x_ix_jx_k)x+x_1x_2x_3x_4$
f'{x)=$\large\ 4x^3-3(\sum x_i)x^3+2(\sum x_ix_j)x^2-(\sum x_ix_jx_k)$.
Áp dụng định lí Lagrange => f'(x) có 3 nghiệm $\large\ y_1;y_2;y_3 $
=>f'(x)=$\large\ 4(x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)$
Đ?#8220;ng nhất hệ số =>
$\large\dfrac{1}{4}\sum x_ix_jx_k=y_1y_2y_3$
$\large\dfrac{1}{2}\sum x_ix_j=\sum y_iy_j$
Cauchy $\large\ y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1 \geq 3\sqrt[3]{(y_1y_2y_3)^2}$ => dpcm.....
Bài này là bài thi HSG truyền thống HCM và cũng là bài thi HSG của Đức ,em chỉ biết cách đạo hàm à, còn có cách nữa chắc CM tương đương (Em bó tay chỉ biết 1 cách)

Edited by doanquocdung, 27-03-2007 - 21:43.

[10maths_tp0609]

theo DL Roll:
tồn tại các số x,y,z sao cho:
x+y+z= $\dfrac{3}{4}(a+b+c+d) $
xy+yz+zx= $ \dfrac{1}{2}(ab+ac+ad+bc+bd+cd) $
xyz= $ \dfrac{1}{4}(abc+bcd+cda+dab) $
đưa về 3 biến rồi AM-GM.