Chủ đề này có 5 trả lời

[Lim]

Phỏng vấn Michael Atiyah và Isadore Singer
( Hai người đoạt giải Abel năm 2004)





Thực hiện bởi Martin Raussen và Christian Skau. Cuộc phỏng vấn này diễn ra ở Oslo ngày 24 tháng 5 năm 2004 trước lễ trao giải Abel.
Mục lục :
- Định lý Index ( Index Theory)
- Quá trình hợp tác
- Toán học và vật lý
- Những bước phát triển mới nhất
- Tính liên tục của toán học
- Thông tin trong toán học
- Trường phái cá nhân
- Lịch sử của EMS
- Bên cạnh toán học


Trước hết, chúng tôi xin chúc mừng hai ông đã dành được giải Abel năm 2004. Giải thường này được trao cho hai ông với việc " ̣ khám phá và chứng minh định lý Index Theorem, một sự liên hệ giữa hình học và giải tích, theo một lối ngạc nhiên". Cả hai ông đều nổi bật trong danh sách những người có thành tích cao trong toán học. Phải chăng định lý Index là kết quả quan trọng nhất mà hai ông đạt được trong sự nghiệp của mình ?


Ngài Michael Francis Atiyah đến từ trường đại học Edinburgh

ATIYAH: Trước tiên, tôi muốn nói rằng, tôi coi nó như một thuyết, chứ không phải là một định lý. Thực tế, chúng tôi đã làm việc với nó trong suốt 25 năm, nếu tôi bao gồm tất cả những vấn đề liên quan, tôi có thể nói, 30 năm trong cuộc đời của mình, tôi dành cho lĩnh vực này. Vì vậy, ́ khá rõ ràng để cho rằng, nó là một kết quả tốt nhất mà tôi làm được.


Ngài Isadore M. Singer đến từ viện công nghê Massachusetts (MIT)

SINGER: Tôi cũng vậy, cảm giác thấy định lý Index đã là một điểm cao khỏi đầu mà tôi đạt được. Nó giống như nếu chúng tôi leo lên một ngọn núi và tìm thấy một cao nguyên, cái mà chúng tôi chưa bao giờ nhìn thấy trước đó vậy.

Chúng tôi rất vui nếu hai ông có thể giới thiệu đôi chút về lịch sử khám phá ra đinh lý Index. Phải chăng có những điềm báo, những giả thuyết đã có từ trước khi hai ông theo đuổi ? Phải chăng nó xuất phát từ động cơ toán học hay còn có cả động cơ vật lý nữa vậy ?

ATIYAH: Toán học luôn là một sự nối tiếp, giống như lịch sử của nó , quá khứ - không có gì xuất phát từ con số 0 vậy. Định lý Index, là sự tiếp diễn trong công việc, tôi có thể nói, khởi đầu bởi Abel. Vì vậy, tất nhiên là có những điềm báo. Một định lý không bao giờ đến theo hướng suy luận logic, cái dẫn bạn đến sự tin tưởng hay cho nó là những suy nghĩ sau cùng. Nó thường hay xảy ra một cách đột nhiên, một số cơ hội khám khá trong lời giải của một số dạng câu hỏi. Sau cùng bạn có thể hợp lý hóa và cho rằng, nó đúng ́ là như vậy . Các khám phá không bao giờ xảy ra một cách gọn gàng như vậy. Bạn có thể viết lại lịch sử và làm cho nó trở nên logic hơn, nhưng thực tế, nó thường xảy ra theo một hướng hoàn toàn khác.

SINGER: Cùng thời điểm chúng tôi chứng minh định lý Index, chúng tôi phát hiện được sự quan trọng của nó trong toán học, nhưng chúng tôi không có một ý niềm mơ dù là mơ hồ nào về sự ảnh hưởng của nó đối với vật lý. Nó đến một cách hoàn toàn bất ngờ đối với chúng tôi. Hy vọng nó đã không là một sự ngạc nhiên bởi vì nó sử dụng rất nhiều đến hình học, và cơ học lượng tử trong cùng một hướng.

Các ông đã tìm ra ít nhất 3 cách chứng minh khác nhau cùng với những phương pháp khác nhau cho định lý Index. Tại sao hai ông vẫn tiếp tục tìm cách chứng minh khác khi đã có cách chứng minh ban đầu ? Đâu là sự khác biệt lớn nhất giữa các cách chứng minh mà hai ông đưa ra ?

ATIYAH: Tôi nghĩ rằng, nó được nói bởi Gausss, người đã có 10 cách chứng minh khác nhau cho định lý tương hỗ bậc hai. Mỗi định lý hay nên có một vài cách chứng minh, càng nhiều càng tốt. Với 2 lý do : thông thường, các cách chứng minh khác nhau có những điểm mạnh và điểm yếu khác nhau, chúng có thể được tổng hợp hóa ở trong một hướng khác - chúng không chỉ là sự lặp lại cuả nhau. Và nó đã đúng như vậy, với trường hợp trong các cách chứng minh mà chúng tôi đưa ra. Có nhiều lý do khách nhau cho nhiều cách chứng minh, nó xuất phát từ lịch sử và môi trường. Tất cả chúng đều là những trái sáng giá trong lĩnh vực này. Nếu bạn không thể nhìn một bài toán với những hướng khác nhau, ́ có khả năng là bài toán đó không thú vị, càng có nhiều hướng thì càng tốt.

SINGER: Nó không chỉ dừng lại ở một định lý; mà còn có nhiều cách để tổng quát hóa đinh lý này. Một trong số đó là việc sử dụng lý thuyết K-theory, một cách khác đó là chứng mình phương trình nhiệt, cái làm cho các công thức khać trong topological trở nên có nhiều geometric ( hình mẫu) và explicit ( tường minh) hơn. Mỗi định lý và cách chứng minh có một ý nghĩa và ứng dụng khác nhau.

-------------------

: Muốn tìm hiểu về định lý Index, mời bạn đọc bài báo này :
http://www.abelprise...nglish_2004.pdf

Dữ liệu được lấy ở cùng trang web ̉ trên.

(Còn nữa )

[Lim]

Quá trình hợp tác

Cả hai ông đều đã đóng góp cho định lý Index theo các hướng chuyên môn và sự nhìn nhận khác nhau, cùng với sự tham gia của một số nhà toán học khác, tôi nghĩ vậy. Hai ông có thể miêu tả đôi chút về quá trình hợp tác để có được kết quả thành công ngày hôm nay không ?

SINGER: Ừm, tôi đến với nền tảng là giải tích và tích phân hình học, còn ngài Michael có chuyên môn là hình học đại số và topology . Với mục tiêu là định lý Index, lĩnh vực chuyên môn của chúng tôi ăn khớp với nhau, như bàn tay với gang tay vậy. Hơn nữa, theo một hướng khác , sở thích cá nhân của chúng tôi cũng hợp nhau, vì thế " mọi chuyện đều trôi chảy" : Đưa ra một ý kiến - dù nó là thế nào, chúng tôi đều viết nó lên bảng và cùng nghiền ngẫm nó; chúng tôi sẽ hăng say để tìm hiểu về nó; nếu nó không thích hợp, nó đã không thể được vận dụng. Nhưng thông thường, có nhiều ý tuởng được nảy ra, và chúng tôi đều tự do tìm hiểu mà không phải e ngại nó xuất phát từ đâu và nó sẽ đi đến đâu. Thật là thú vị khi được làm việc cùng̣ với ngài Michael trong những năm qua. Nó vẫn còn nguyên vẹn như ngày đầu chúng tôi gặp nhau vào năm 1955 - cảm giác này thật là thú vị,̀ " mọi thứ đều trôi chảy " và " để xem, điều gì sẽ đến".

ATIYAH : Không có khó khăn gì. Singer có một nền tảng và chuyên môn rất vững chãi trong giải tích và tích phân hình học. Và ngài ấy biết nhiều về vật lý hơn tôi : điều này rất hữu ích cho công việc về sau này. Nền tảng của tôi là hình học đại số và topology, vì thế mọi thứ đều liên kết với nhau. Nhưng tất nhiên, có rất nhiều người đóng góp cho việc xây dựng định lý Index - nhìn lại từ Abel, Riemann và hiện tại hơn là Serre, người nhận giải Abel năm ngoái, Hirzebruch, Grothendieck và Bott. Có rất nhiều nghiên cứu từ khía cạnh hình học đại số và từ topology cần dựa vào. Và tất nhiên, cũng có nhiều người đã làm các công việc cơ bản trong giải tích và nghiên cứu các phương trình vi phân : Harmander, Nirenberg... Trong bài giảng của tôi, tôi sẽ nhắc tới một dãy những tên tuổi đó , có thể còn có những thiên vị. Đó là một ví dụ về sự cộng tác quốc tế; bạn không thể làm việc một mình, trên phương diện thời gian hay không gian - đặc biệt là thời buổi này. Các nhà toán học có sự giao thiệp̣ khá gần gũi, mọi người tìm hiểu xung quanh khá nhiều. Chúng tôi đã gặp nhau ở viện Princeton. Thật là vui khi được đến Arbeitstagung ở Bonn hàng năm, nơi mà Hirzebruch được tổ chức và là nơi mà nhiều người khác gặp gơ nhaũ. Trước kia tôi đã không nhận ra điều này, nhưng nhìn lại, tôi cảm thấy rất ngạc nhiên trước̀ sự phát triển một cách nhanh chóng các ý tưởng đưa ra...

Ngày nay, sự hợp tác có một vai trò quan trọng trong toán học hơn là những giai đoạn trước đó. Có rất nhiều các hội nghị được tổ chức, chúng tôi thấy có nhiều các bài báo được viết bởi 2, 3 hay nhiều hơn tác giả- phải chăng điều này là cần thiết và là bước̣ phát triển đáng ngợi khen hay là nó là một điều trở ngại ?

ATIYAH: Không giống như trong vật lý hay hóa học,nơi bạn cần đến hàng chục nhà khoa học khác nhau, để có thể tạo nên những cố máy khổng lồ. Nó không hoàn toàn cần thiết hay cơ bản. Nhưng cụ thể, nếu bạn giải quyết nhiều lĩnh vực khać nhau, nên có sự pha trộn và kết hợp các nền tảng học thuật khác nhau, với những người có các chuyên môn khác nhau , nó sẽ dễ dàng và nhanh chóng hơn. Nó cũng là một điều thú vị đối với những người cộng tác. Là một nhà toán học của riêng mình trong văn phòng của riêng mình có thể là một điều khờ khệch, vì thế các sự tiếp xúc cần được kích thích, trên cả quan điểm tâm lý học lẫn toán học. Có một sự thừa nhận đó là đôi lúc, bạn cần phải tập trung hoàn toàn trong văn phòng của mình, nhưng điều này không phải luôn luôn xảy ra. Nó có thể là một sự hòa đồng, tiếp xúc với nhiều người khác. Bạn cần phải biết kết hợp, bạn không thể nói ở mọi nơi, nhưng luôn giao tiếp là một ̀ điều cần thiết. Nói tóm lại, tôi cho rằng giao thiệp là một bước phát triển tốt , và không cho nó là một sự trở ngại.

SINGER: Hiện tại, các máy tính giúp cho việc hợp ̣̣ tác trở nên dễ dàng hơn. Rât nhiều nhà toán học hợp tác với nhau bằng máy tính, bằng cách nói chuyện với nhau. Tôi thì không thể làm được điều đó. Có một ví dụ điển hình , trái ngược với xu hướng trên đó là kết quả của Perelman trong giả thuyết Poincare: ông ấy đã làm việc một mình từ 10 đến 12 năm, tôi nghĩ vậy, trước khi đưa bản thảo của mình lên mạng.

ATIYAH : Tôi đồ̀ng ý với quan điểm trên. Sự linh động là một yếu tố cần thiết trong xã hội toán học của chúng ta.

Công việc của Perelman trong giả thuyết Poincare dường như là một thí dụ, ở đó giải tích và hình học được kết hợp̣ với nhau một cách chặt chẽ. Nó có vẻ là hình học được phát triển khá́ nhiều trên quan điểm của giải tích .Phải chăng sự liên kết giữa các ngành khác nhau là một xu hướng chung - phải chăng nó đúng ,rằng các kết quả quan trọng được dựa trên mốị quan hệ tương hỗ giữa các lĩnh vực khác nhau ? Và một câu hỏi cụ thể hơn : Hai ông biết được thông tin hiện tại gì về cách chứng minh giả thuyết Poincare ?

SINGER: Hiện tại, mọi thứ đều diễn ra như Perelman đã nói. Vì tôi học được từ bài thuyết trình của Lott ở trường đại học Michigan và bài thuyết trình của Tian ở đại học Princeton. Mặc dầu chưa có ai xác minh cho những chi tiết cuối cùng, nhưng nó xuất hiện như việc chứng minh của Perelman là hợp lệ.

Giống như câu hỏi đầu tiên của ông: Khi mỗi ngành sử dụng những kỹ thuật của nhau theo một hướng mới, dẫn đến, điều đặc biệt xảy ra. Trong hình học, giải tích là một thứ rất quan trọng; với sự tồn tại của những định lý, càng nhiều càng tốt. Không có gì ngạc nhiên rằng một số hướng của giải tích dẫn đến những điều thú vị về giả thuyết Poincare.

ATIYAH: Tôi muốn đi xa hơn một chút - tôi không cho rằng có một sự phân chia rach ròi giữa các ngành toán học , thực tế là vậy nếu bạn trở lại ngược thời gian, từ thời Newton và Gauss... Mặc dầu có đôi lúc, cụ thể̀ là hậu Hilbert, với hệ tiên đề thống nhất toán học ở nửa đầu thế kỷ thứ 20, thì người ta bắt đầu đi theo hướng chuyên môn hóa, và phân chi ra từng ngành. Trường phái Bourbaki có vai trò quan trọng trong một thời gian̉. Nhưng nó không phải là xu hướng chung của toán học. Abel có thể không phân biệt được giữa đại số và giải tích. Và tôi nghĩ rằng, điều này cũng xảy ra đối với hình học và giải tích , với những người như Newton.

Nó chỉ là giả tạo khi chia toán học thành những khúc riêng biệt, và sau đó nói bạn gộp các khúc đó lại và nghĩ rằng đó là một sự ngạc nhiên. Ngược lại, chúng đều là những phần của các vấn đề khó xử trong toán học. Thỉnh thoảng bạn sẽ phát triển một số thứ cho những vấn đề của riêng mình, ví dụ, bạn phát triển lý thuyết nhóm theo hướng của mình. Nhưng nó chỉ là thứ quy ước phân chia mang ý nghĩa tạm thời. Cơ bản hơn, toán học nên được sử dụng như là một sự́ thống nhất. Tôi nghĩ càng nhiều những ví dụ chỉ ra rằng bạn có thể sử dụng giải tích vào hình học thì càng tốt. Mà không chỉ là giải tích, tôi nghĩ rằng một số vấn đề của vật lý cũng nên được sử dụng: Rấ́t nhiều ý tưởng trong hình học sử dụng những hiểu biểu có từ được vật lý - ví dụ như Riemann! Nó là tất cả các phần của toán học truyền thống bao la, cái đôi lúc là nguy hiểm nếu nhìn khái quát bằng con mắt tân thời, những người trẻ nói rằng " chúng ta phải phân chia một cách riêng biệt" Chúng tôi không muốn có thứ phân chia đó, thực sự là vậy.


SINGER: ĐỊnh lý Index là một công cụ trực tiếp trong việc phá vỡ ranh giới giữa các lĩnh vực. Khi nó mới xuất hiện, rất nhiều người trong những lĩnh vực cụ thể đã không vui, vì những kĩ thuật mới đã đựơc đưa vào trong lĩnh vực của họ , họ không thể làm việc trong lĩnh vực đó với những phương pháp cũ. Thế hệ mới ngay lập tức ̀cảm thấy tự do trước những rào cản, mà theo chúng tôi đó chỉ là những ranh giới giả tạo.

ATIYAH: Để tôi kể cho hai ông một mảnh chuyện ngắn về Henry Whitehead, một nhà topology. Tôi còn nhớ ông ấy đã nói với tôi rằng ông ấy đã rất vui mừng khi trở thành một nhà topology: ông ấy có rất nhiều người bạn cùng ngành topology, và đó là một cộng đồng lớn. " Nó sẽ là một thảm họa nếu một ngày nào đó tôi có một ý tưởng sáng giá trong lĩnh vực giải tích hàm và sẽ phải rời tất cả những người bạn topology của mình, và ra ngoài, làm việc cùng với một nhóm khác". Ông ấy cho rằng đó là một công việc phải làm, những ông ấy sẽ rất miễn cưỡng.

Một cách nào đó, chúng tôi đã là những người măn mắn. Mọi thứ đã đi sang một hướng , mà chúng tôi cần đến giải tích hàm, nhưng không bị mất những người bạn cũ. Chúng tôi có thể kéo họ đi với mình. Alain Connes đã theo ngành giải tích hàm, và hiện tại chúng tôi vẫn tiếp xúc một cách rất gần gũi . Vì thế, chúng tôi đã may mắn khi có được những mối liên hệ cũ, trong khi bước sang những mắt xích mới - đó là một điều rất thú vị.

-------------
(Còn nữa)

[Lim]

Toán học và vật lý

Chúng tôi rất muốn hai ông cho ý kiến của mình về sự ảnh hưởng qua lại giữa vật lý và toán học. Có một lời tuyên bố của nhà vật lý Galileo từ buổi đầu của cuộc cách mạng khoa học rằng Các định luật của tự nhiên được viết bởi ngôn ngữ của toán học. Tại sao các thứ ̀ sáng tạo trong toán học, thỏa mãn tiêu chuẩn về nét đẹp và sự giản dị, lạì là đúng những thứ, theo dòng thời gian, được tìm ra là ̣ miêu tả chính xác thế giới bên ngoài ? Có rất nhiều ví dụ, tôi tạm lấy lý thuyết nhóm, và định lý Index của hai ông ?

SINGER: Có vài hướng đi đến câu trả lời cho những câu hỏi của ông: Tôi xin giới thiệu 2 hướng. Đầu tiền, một số phần của toán học được sáng tạo theo trật từ để miêu tả thế giới của chúng ta. Phương pháp tính, calculus , bắt đầu bằng việc giải thích chuyển động của các hành tinh và những vật thế chuyển động khác. Phương pháp tính, các phương trình vi phân, và các phương trình tích phân là một phần rất tự nhiên của vật lý bởi vì chúng được phát triển để cho vật lý. Những phần khác của toán học cũng tự nhiên đối với vật lý. Tôi còn nhớ bài thuyết trình của Freynman, ông cố gắng để giải thích những sự việc dị bình thường . Các tiến sĩ khoa học của ông vẫn muốn chọn các tọa độ theo thứ tự để tính toán; ông ấy ngừng họ lại và nói :" Các định luật của vật lý là độc lập trong một hệ tọa độ. Hãy nghe những gì mà Singer nói, bởi vì ông ấy miêu tả tình huống không cùng với các truc̣ tọa độ." Trục tọa độ tự do có nghĩa là hình học. Nó là điều tự nhiên khi hình học xuất hiện trong vật lý, khi các định luật của nó độc lập trong một hệ trục tọa độ

Tính đối xứng rất hữu dụng trong vật lý, cũng như rât hữu ích ́ trong toán học vậy. Ngoài cái đẹp, những đối xứng làm đơn giản hóa các phương trình, cả trong vật lý lẫn toán học. Vì thế vật lý và toán học cùng có chung tính hình học và lý thuyết nhóm, tạo ra một mối liên hệ giữa những phần của cả hai ngành này.

Thứ nhì, có một lý do sâu sắc nếu câu hỏi của ông được giải thích giống như trong tiêu đề bài viết của Eugene Wigner " Những ảnh hưởng không thể lý giải nối của toán học trong khoa học tự nhiên" Toán học nghiên cứu các hệ thống chặt chẽ, cái tôi sẽ không thử định nghĩa , nhưng nó nghiên cứu các hệ thống mạch lạc, các mối liên hệ giữa chúng giống như các cấu trúc của hệ thống đó vậy. Chúng ta không nên quá ngạc nhiên khi toán học có các hệ thống chặt chẽ ứng dụng vào trong vật lý. Có một câu hỏi đó là phải chăng có một hệ thống chặt chẽ đã được phát triển để miêu tả cấu trúc trong lý thuyết dây [ Hiện tại, chúng tôi vẫn chưa biết nhóm đối xứng trong lý thuyết trường dây - string field theory , là gì ] Witten đã nói rằng toán học trong thế kỷ thứ 21 sẽ phát triển những mảng toán học mới, hy vọng liên kết với những hiểu biết trực giác trong vật lý, để miêu tả cấu trúc của thuyết dây.

ATIYAH: Tôi đồng ý với quan điểm của Singer về việc toán học đang phát triển ra từ thế giới vật lý; nó không phải là điều quá ngạc nhiên, vì có sự tác động qua lại, giữa toán học và vật lý.

Căn bản hơn : để hiểu thế giới bên ngoài giống như việc loài người làm là một sự cố gắng để giảm bớt những thứ phức tạp thành những thứ đơn giản. Thế nào là một thuyết ? có rất nhiều điều đang xảy ra ở thế giới bên ngoài, và mục đích của khoa học là cần giảm những thứ đó trở thành những thứ đơn giản như một số các nguyên lý có thể. Đó chính là cách mà bộ óc của con người làm việc, là hướng mà bộ óc của con người muốn tìm kiếm ra câu trả lời.

Nếu chúng ta là những chiếc máy tính, chúng ta có thể san phẳng một khối lượng lớn những thông tin, chúng ta sẽ không bao giờ phát triển được các thuyết - chúng ta sẽ nói, chỉ việc bấm vào nút để nhận câu trả lời. Chúng ta muốn giảm bớt những phức tạp để hình thành một dạng, cái mà bộ óc của con người có thể hiểu, để thành một số những nguyên lý đơn giản. Toán học là một cuộc cách mạng trong trí tuệ của con người, nó tương ứng với những ảnh hưởng ở bên ngoài, sáng tạo bộ máy và gắn với thế giới bên ngoài. Đó cũng ́ là hướng mà chúng tôi có gắng làm, để giảm những sự phức tạp thành một thứ đơn giản, đẹp đẽ và phong nhã. Nó thực sự rất cơ bẳn, giản dị là một nét tự nhiên cần đó trong khoa học - chúng tôi không tìm kiếm những thứ phức tạp.

Tôi nghĩ rằng khoa học và toán học là lối mà trí tuệ của loài người tìm kiếm và trải nghiệm - bạn không thể chia rẽ trí tuệ của loài người từ nó. Toán học là một phần của trí tuệ loại người. Câu hỏi phải chăng có một trí tuệ thực độc lập, không có ý nghĩa - ít nhất, chúng tôi không thể trả lời được nó.

Có phải là mạnh bạo khi cho rằng các vấn đề của toán học đã giải quyết và các kỹ́ thuật phát triển từ vật lý có nguồn gốc từ toán học trong quá khứ; hay ít nhất trong 25 năm qua ?

ATIYAH: Tôi nghĩ rằng ông có thể chuyển nó thành một mệnh đề mạnh hơn. Gần như mọi thứ toán học nguyên bản phát triển từ thực tế bên ngoài, các con số và sự tính toán. Tại mộ̣t số điểm, toán học sau đó chuyển sang để hỏi các vấn đề nội tại, ví dụ lý thuyết về số nguyên tố, nó không trực tiếp quan hệ với những kinh nghiệm, nhưng lại liên hệ với chính nó.

Có những phần của toán học, nơi mà trí tuệ của loài người đặt ra những câu hỏi nội tại, chỉ đề thỏa tính tò mò. Nguồn gốc có thể là do thể chất, những sau cùng nó trở thành những thứ độc lập. Có những phần khác liên hệ mật thiết hơn với thế giới bên ngoài, và chúng có những tương tác qua lại với nhau. Trong một phần của đó́, vật lý đã có một thời gian dài là mạch huyết của toán học và là cảm hứng cho các công việc của toán học. Có những ̀lúc để những phần của toán học vượt quá những khuôn mẫu cũ, lúc để các phần của toán học tạo ra những thứ nội tại thuần túy. Rất nhiều các mảng của toán học không trực tiếp liên hệ với thế giới bên ngoài.

Nó là một trong những điểm mạnh của toán học, cái có những hai, mà không phải là một mạch huyết: một bên ngoài và một nội tại, một cái phát triển để tương ứng với những sự kiện bên ngoài, cái khác là sự phản chiếu nội tại nên thứ mà chúng ta đang làm.

SINGER: Mệnh đề của ông là khá chắc chắn. Tôi ủng họ ý kiến của Michael rằng toán học có được cả hai nguồn cảm hứng, bên ngoài và bên trong. Trong những thập niên quá, các nhà vật lý lý thuyết năng lượng cao đã có những ảnh hưởng lớn từ toán học. Nhiều nhà toán học đã bị sốc khi những hướng mở rộng ngoài hy vọng : những ý tưởng mới từ bên ngoài toán học lại ảnh hưởng nhiều vào trong toán học. Chúng ta vui mừng cùng với những thứ từ bên trong, nhưng những điều "sốc" bên ngoại đó làm tăng thêm niềm vui mà chúng ta có được với toán học.

---------
(Còn nữa)

[Lim]

Những bước phát triển mới

Chúng ta có thể chuyển sang những mảng toán mới được phát triển, cùng với ảnh hưởng của định lý Atiyah - Singer Index được không ? ví dụ, Lý thuyết dây và Witten ở một phía, còn phía khác là Hình học không giao hoán , trình bày bởi Alain Connes. Hai ngài có thể trình bày một vài hướng tiếp cận tới việc thu gọn hóa Toán - Lý bởi hai nhân vật chính trên không ?

ATIAYH : Tôi đã có một cuộc nói chuyện về việc miêu tả những hướng tiếp cận khác nhau song song với vật lý, giống như các nền tôn giáo khác nhau vậy. Bạn có những người tiên trị, bạn có những người môn đồ - mỗi tiên tri và môn đồ của ông ấy nghĩ rằng họ ̃đại diện cho sự thật. Nếu bạn chọn một vị trí ở đó có nhiều tôn giáo khác nhau, thì phần giao bởi tất cả các thuyết có được sẽ là trống không, vì tất cả họ đều nói một cách vô nghĩa. Hay bạn chọn phía thần bí, người nghĩ rằng cái họ miêu tả là những phần khác nhau của thực tại, và vì vậy, tất cả họ đều được cho là đúng. Tôi đang chọn quan điểm thứ hai. Quan điểm chính thống của những nhà vật lý,đại diện bởi một số lượng lớn những người nghiên cứu về lý thuyết dây, giống như Edward Witten. Có một số nhỏ khác là những nhà triết học, một trong số họ là Alain Connes, và người khác nữa là Roger Penrose. Mõi người trong số họ có một quan điểm riêng, tất cả đều là những ý tưởng rất thú vị. Trong những năm gần đây, có một sự tiếp xúc không bình thường giữa tất cả các quan điểm.


Họ có thể miểu tả những khía cạnh khác nhau của thực tại và cuối cùng, khi chúng ta hiểu về chúng, chung ta có thể nói " Oh, đúng rồi, tất cả chúng đều là một phần của sự thật". Tôi nghĩ rằng chuyện đó sẽ xảy ra. Thật là khó để nói rằng thuyết nào sẽ hội tụ tất cả, khi nào chúng ta hiểu được bức tranh toàn cảnh - chúng tôi chưa biết. Nhưng tôi theo quan điểm mở. Vấn đề đối với nhiều nhà vật lý là họ có một xu hướng "làm theo người dẫn đầu" ngay khi ý tưởng được đưa ra, hàng chục người viết hàng chục bài báo về vấn đề đó và tác dụng của nó là mọi thứ di chuyển rất nhanh theo một hướng kỹ́ thuật. Nhưng các quá trình lớn có thể đến từ một hướng khác; bạn cần đến những người khám phá ra những con đường khác. Và nó là điều tốt khi chúng ta có những người như Connes và Penrose cùng với những đường kẻ độc lập từ những tọa độ gốc khác nhau. Tôi là người thích thú với sự đa dạng. Tôi sẽ không đóng cửa lại hay nói rằng " họ chỉ nói những điều vô nghĩa"

SINGER Lý thuyết dây là một trường hợp rất đặc biệt ở hiện tại. Các nhà vật lý đã tìm ra những kết quả mới trên những vùng đất mới của họ - rất nhiều cái bạn không thể hy vọng lại ̉ có thế được dự đoán bởi Thuyết dây. Niềm hy vọng nguyên sinh của nó vấn chưa bị nấp kín. Hơn nữa, tôi là một người ủng hộ mạnh mẽ Thuyết siêu dây, ́ không phải vì nó gắn liền với toán học, nhưng bởi vì nó trùng hợp với tất cả, đó́ là một thuyết rất thú vị. Cứ́ vài năm lại có những sự phát triển mới trong lý thuyết để đưa ra những hiểu biết sâu sắc hơn. Khi điều này xảy ra, bạn có thể nhận ra những điều mới là mà bạn hiểu về Thuyết dây so với trước đó. Lý thuyết về các màng D là một ví dụ. Xuyên qua các màng D, lý thuyết K đi vào lý thuyết dây một cách tự nhiên và cải tổ lại nó. Chúng ta sẽ đợi để xem điều gì sẽ đến. Tôi khá tự tịn và cho rằng vật lý sẽ có những ý tưởng mới trong thuyết dây, để đưa cho chúng ta cái nhìn sâu rộng hơn về lý thuyết này, cùng với những lĩnh vực toán mới phát triển khác.
Chương trình của Alain Connes rất tự nhiên - nếu bạn muốn kết hợp ̣ hình học với cơ học lượng tử, thì bạn phải lượng tử hóa hình học, đó chính là ý nghĩa của hình học không giao hoán. Hình học không giao hoán đã được sử dụng hiệu quả trong nhiều phần lý giải của Thuyết dây, những gì xảy ra tại những kỳ dị xác định. Tôi nghĩ rằng nó có thể là một hướng khá thú vị để miêu tả lỗ đen cùng với Big bang. Nó cũng sẽ thúc đẩy những nhà vật lý trẻ tìm hiểu về hình học không giao hoán một cách sâu hơn so với những gì hiện tại. Các nhà vật lý mới chỉ sử dụng một vài phần của hình học không giao hoán; lý thuyết này còn có nhiều phần đưa được nghiên cứu khác. Tôi không biết được nó có dẫn tới những điều gì không, nhưng một trong những dự án của tôi đó là ̀ làm lại những kết quả sử dụng hình học không giao hoán một cách đầy đủ hơn.

Nếu hai ngài thử đoán bạo thì những ngành toán học nào đang trở thành vật chứng của những bước phát triển quan trọng nhất trong một vài năm tới ?

ATIYAH: Có người sẽ trả lời nhanh rằng những bước phát triển thú vị rất là những thứ mà bạn không thể dự đoán được. Nếu bạn có thể phỏng đoán được chúng, thì chúng không còn là điều thú vị nữa. Vì thế, theo định nghĩa, câu hỏi của ông không có lời giải

Những ý tưởng từ vật lý, ví dụ như Thuyết lượng tử, đã có một ảnh hưởng lớn trong thời gian quá, trong hình học, một số phần của đại số và trong topology. Ảnh hưởng của một số thuyết khác vẫn còn là nhỏ, nhưng vẫn có những ví dụ điển hình. Tôi muốn đưa ra một phỏng đoán vội vàng rằng lý thuyết số sẽ có một ảnh hưởng lớn xuyên suốt toán học - một cực là lý thuyết số, một cực là vật lý, còn ở giữa là hình học: gió đang thổi, nó sau cùng sẽ chạm tới những cực xa nhất của lý thuyết số và mang đến cho chúng ta những cái nhìn mới.

Nhiều bài toán chúng ta đang giải quyết ngày này cùng với những ý tưởng cũ sẽ được hoàn thành bởi những ý tưởng mới. Tôi rất muốn được chứng kiến điều này xảy ra: nó có thể là giả thuyết Riemann, nó có thể là chương trình Langlands hay một số bài toán khác. Tôi đẫ có một cuộc trao đổi với Andrew Wile, khi đó tôi nói rằng vật lý sẽ có một ảnh hưởng lớn tới lý thuyết số, ông ấy cho rằng điều này là không có nghĩa, nhưng chúng tôi đã có một cuộc thảo luận thú vị.

Tôi còn muốn có một dự đoán khác, đó là quá trình phát triển cơ bản hơn cả toán học và vật lý, đó là những câu hỏi trong lý thuyết dây. Nó ̃ biểu lộ một sự hiểu biết sâu sắc của hình học 4 chiều cổ điển, các phương trình của Einstein. Phần khó trong vật lý có thể nói đó là những phương trình phi tuyến của Einstein. Những thứ đã làm tại thời điểm này là một phần , có thể nói như vậy, của vấn đề này. Họ thực sự chưa nắm đến phần khó nhất. Sự phát triển mạnh mẽ sẽ có được khi người ta đưa ra những kỹ thuật mới cùng với những ý tưởng mới . Dù bạn cho nó là hình học, các phương trình vi phân hay vật lý, phụ thuộc vào những gì sẽ xảy ra, nhưng nó cũng có thể là một bước đột phá lớn.

Đó chỉ là những suy đoán của tôi.

SINGER: Tôi sẽ suy đoán theo một hướng hoàn toàn khác, trong suy nghĩ, tôi đồng ý với những ý kiến của ngài Michael về lý thuyết số, theo tôi ̉ các hàm theta (theta functions) đang đi vào từ vật lý theo những hướng mới. Tôi nghĩ rằng những lĩnh vực của vật lý khác sẽ có ảnh hưởng vào trong toán hoc - như thống kê cơ học và vật lý chất rắn. Ví dụ, tôi dự đoán về một ngành mới là thống kê topology ( statistical topology). Xa hơn có thể đó là số của các lỗ ( number of holes) , số Betti ( betti - numbers) người ra sẽ thích thú hơn về sự phân bố của những vấn đề này trên các đa tạp không compact ( noncompact manifolds) như người ta bước tới sự vô hạn vậy. Chúng tôi đã điềm báo trong số của các zeros( number of zeros) và các cực cho các hàm holomorphic. Lý thuyết chúng tôi có về các hàm holomorphic sẽ được tổng hợp hóa và sự thấu hiểu bên trong sẽ được biết từ ngành vật lý chất rắn, giống như trong thống kê , topology có thể được xem là tiến tới vô hạn.

---------
(Còn nữa)

[Lim]

Thông tin trong toán học

Chủ đề tiếp theo: thông tin trong toán học: Hilbert, trong một bài nói chuyện nổi tiếng tại hội thảo quốc tế năm 1900, với việc nêu ra tầm quan trọng của thông tin trong toán học, trích dẫn lời của một nhà toán học người Pháp , ông nói : " Một lý thuyết toán học sẽ không được cho là hoàn chỉnh nếu bạn, người xây dựng nên nó không giải thích một cách rõ ràng cho người đầu tiên mà bạn gặp ở bên lề đường" Đề chuyển sang một thế hệ các nhà toán học mới, các nhà toán học phải tập hợp̣ kiến thức của thế hệ trước, theo hai ngài, tầm quan trọng của thông tin sẽ thế nào khi những kết quả đều có được những cách chứng minh giản dị và phong nhã ?

ATIYAH: Việc chuyển tiếp toán học sang một thế hệ mới là điều cần thiết cho tương lai, và có một khả năng duy nhất đó là mỗi thế hệ của các nhà toán học đều hiểu cái họ đang làm và cất nó thành một dạng sao cho dễ hiểu bởi thế hệ sau. Rất nhiều thứ phức tạp trở nên đơn giản khi bạn có được một cái nhìn đúng hướng. Cách chứng minh đầu tiên của một số thứ thường khá phức tạp, nhưng khi bạn hiểu nó hơn, bạn sẽ chuyển tiếp nó, và sau cùng bạn có thể trình bày nó theo một hướng dễ hiểu hơn - và đó cùng là cách mà bạn bước sang một thế hệ mới ! Không cùng với điều này , chúng ta đã không bao giờ phát triển và mọi thứ trở nên rối ren. Toán học có thể phụ thuộc vào một cơ hội đủ tốt, vào việc hiểu những vấn đề cơ bản để chúng ta có thể vượt qua nó một cách đơn giản như khả năng cho những thành công của chúng ta. Điều này đã diễn ra một cách thành công trong hàng nhiều thế kỷ qua. Mặt khác, làm sao chúng ta có thể ở vị trí như ngày nay trong khi ở thế ký thứ 19, người ta nói rằng " Có rất nhiều thứ trong toán học , làm sao ai có thể tạo ra được một bước phát triển " Ừm, chúng ta đã tiến hành nó bằng nhiều dụng cụ khá nhau, chúng ta tổng hợp̣, chúng ta thống nhất bằng các ý tưởng mới, chúng ta đơn giản hóa rất nhiều bước xây dựng - chúng ta đang thành công trong tiến trình này hàng thế kỷ qua. Không có một bằng chứng nào phủ nhận quá trình này . Làm sao họ có thể học tất cả mọi thứ ? Đó là vì chúng ta đã thành công trong việc truyền tải nó.

SINGER: Tôi thỉnh thoảng cọ́ sự lúng túng khi nói chuyện với những học trò trẻ của mình, đó là bởi vì họ đã tiếp thu, điều chỉnh lại, và đơn giản hóa những vấn đề lớn bằng những ngôn ngữ mới, đa phân tôi không có hiểu mấy. Thường thường, tôi sẽ ngứt lời bằng câu " Oh, phải chăng đó là tất cả những điều mà cậu muốn nói" Những nền tảng khái niệm mới của họ cho phép họ có thể cô đọng vấn đề, hơn là những gì mà tôi có thể diễn giải cho chính mình. Những suy nghĩ tiến bộ, tôi phải thú thực không có đủ kiên nhận bởi vì nó lấy đi của tôi một thời gian dài để có thể hiểu những điều đã được nói ra đó.

Phải chăng theo dòng thời gian , các định lý sâu sắc và quan trọng trong toán học có thể có được các cách chứng minh ngắn hơn ? Trong quá khứ, có nhiều ví dụ như vậy ,̣ như bài chứng minh một trang giấy của Abel về định lý cộng của vi phân đại số ( algebraic differentials) hay cách chứng minh của Goursat về định lý tích phân Cauchy

ATIYAH : Tôi không nghĩ mọi thứ đều như vậy. Tất nhiên, nó phụ thuộc vào những nền tảng mà bạn cho phép để bắt đầu sử dụng. Nếu bạn khởi đầu bằng những tiên đề của toán học, khi đó mọi cách chứng minh sẽ khá dài. Một sườn chung tại mọi thời điểm đó la các ̀ đề xuất mới. chúng ta đã dang ở một nền bục cao, nếu chúng ta cho phép khởi đầu bằng nền tảng đó, thì mọi cách chứng minh sẽ ngắn gọn.

Một ví dụ từ trong đời tôi, đó là bài toán nổi tiếng về các trường vector trong các khối cầu được giải bởi Frank Adams, trong đó bài chứng minh dài tới hàng trăm trang. Một ngày kia tôi đã khám phá ra được một cách chứng minh viết vừa đủ trong một tấm thiệp. Tôi gửi nó tới Frank Adams và chúng tôi đã viết một bài báo nhỏ cái sau đó mới cần đền một tấm thiệp lớn hơn . Nhưng tất nhiên, nó sử dụng lý thuyết K, không có hoàn toàn phức tạp như trước. Bạn thường xây dựng trên một nền móng cao hơn, bạn luôn cần có những công cụ để ̀sử dụng, những phần của ngôn ngữ . Ngày trước bạn đã có nền móng nhỏ hơn : Nếu bạn tạo ra được một cách chứng minh đơn giản ngày nay, thì bạn đã cho phép sử dụng cái mà các nhà lý thuyết nhóm dùng, ̀ không gian Hilbert. Không gian Hilbert đã cần đến một thời gian dài để phát triển, vì thế nó có số lượng từ ngữ lớn hơn, và với nó chúng ta có thể viết một cách nghệ thuật hơn.

SINGER: Thường, người ta hay cất những ý tưởng vào trong một cách chứng minh phức tạp và tạo nó thành một thứ ngôn ngữ mới. Cách chứng minh mới trở thành đơn giản hơn và sáng tỏ hơn. Để cho rõ ràng và logic, những phần của chứng minh gốc được đặt sang một bên và được miêu tả riêng rẽ.

ATIYAH : Lấy ví dụ về bài luận văn của Abel(*) : Những nhà toán học thời đó không dễ̃ dàng hiểu được nó. Nó nằm trong cơ sở của lý thuyết sau này. Về sau trong ánh sáng của lý thuyết ́, chúng ta có thể nó :" Oh, đó quà là một cách chứng minh giản dị và đẹp đẹ̃"

--------
Bài luận văn của Abel về hàm số siêu việt chỉ vẻn vẹn có 2 trang giấy, mỗi từ trong đó đều rất đáng giá. Ông gọi đó là " một định lý", nó không có phần giới thiêu,không có phần nào là thừa, không ứng dụng nào được liệt kê.

[MrMATH]

Một bài phỏng vấn thật hay
http://diendantoanho...o...&Itemid=285