sử dụng BĐT Holder, ta có:
$\sum\limits_{cyc} \dfrac{a\sqrt{b+c}}{b+c+1})^{2} . \sum\limits_{cyc} \dfrac{a(b+c+1)^{2}}{b+c } \geq (a+b+c)^{3}$
do đó ta cần CM:
$(a+b+c)^{3} \geq 2 \sum\limits_{cyc} \dfrac{a.(b+c+1)^{2}}{b+c}$
Sử dụng BĐT AM-GM, ta lại có:
$ \sum\limits_{cyc} \dfrac{a}{b} \geq \sum\limits_{cyc} ab$
$\sum\limits_{cyc} \dfrac{b}{a} \geq \sum\limits_{cyc} ab$
$\sum\limits_{cyc} \dfrac{a}{b+c} \leq \dfrac{1}{2} \sum\limits_{cyc} \dfrac{a}{b} + \dfrac{1}{2} \sum\limits_{cyc} \dfrac{b}{a} $
Do đó$ VT-VP \geq \sum (a^{3}-4a+ \dfrac{1}{a} +2)$
Xét hàm số $f(x)=x^{3}-4x+ \dfrac{1}{x}+2+2lnx $với x>0, ta có:
$f'=(x-1)(3x+3+ \dfrac{1}{x ^{2} } - \dfrac{1}{x} )$
Nếu $x \leq 1 \dfrac{1}{x ^{2} \geq \dfrac{1}{x}
$
Nếu $x \geq 1 thi 1 \geq \dfrac{1}{x}$
Do đó $f(x)=0 \Leftrightarrow x=1$
từ đây ta dễ dàng kt được$ f(x) \geq f(1)=0 \forall >0$
Vậy $ \sum\limits_{cyc}(a^{3} -4a+ \dfrac{1}{a} +2) \geq -2 \sum\limits_{cyc}lna=0$
BĐT được CM xong
$"=" \Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ly_tieulong39: 31-12-2007 - 15:44
sửa công thức
