Chủ đề này có 2 trả lời

[BooJae]

Số học là fần tớ kém nhất mà thầy jà cứ cho 1 đống bài,làm ko kíp ngáp.Hoo,nay lên nhờ các bác júp đõ
1.Cho $a;b \in N*$. $(a^{2} + b^{2}) \vdots (ab + 1)$. Cmr $\dfrac{a^{2} + b^{2}}{ab + 1}$ là 1 số chính phương.
2.Cho a,b nguyên dương và $(a^{2} + b^{2} +6) \vdots ab$. Cmr $\dfrac{a^{2} + b^{2} +6}{ab}$ là lập phương của 1 số.

Làm jùm mình nha.Đang cần nâng cao kiến thức về số học,học zở wá!!Thankss mọi người nhìu!

Lưu ý: Khi gõ công thức Toán, bạn đưa vào thẻ TeX và thay các dấu : thành \ .
VD: Nếu gõ

[tex]\dfrac{x}{y}[/tex]

sẽ hiện ra $\dfrac{x}{y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietkhoa: 18-05-2007 - 10:23

[MyLoveIs4Ever]

giả sử $ \dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=k $ ko chính phương;$ k\ in Z^+ $
Ta chuyển phương trình ẩn a $ a^2-kba+b^2-k=0 $
Xét a=b => k=3 (chọn ko ko chính phương) thay vào => $ a^2+3=0 $ (loại)
Vậy a>b>0 Từ $ a^2+b^2 \vdots ab+1 $ => phương trình bậc 2 theo 2 có 2 nghiệm $ a,a_1 $.Ta CM:$ a_1 \in Z^+ $.....Cái này dễ
Tương tự xét phương trình bậc 2 theo b cũng tìm đuợc 2 nghiệm $ b,b_1 \in Z+ $
Lí luận tương tự tìm được vô số nghiệm thỏa phương trình => vô lí => dpcm

[dtdong91]

Có gì vô lý đâu nhỉ
Những dạng bài này thường dùng cách c/m rằng $ \dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ chỉ có 1 nghiệm duy nhất
Thật vậy k=1 => a=b=1
Xét a=b=> ...
Xét a khác b
Đặt $ a^2+b^2=k(ab+1)$
Gọi $ (a_0,b_0)$ là nghiệm của pt trên t/mãn $ a_0 >b_0$ và $ a_0+b_0$min
Xét pt bậc 2 ẩn a $ a^2-kab_0+b_0^2-k=0$ có 2 nghiệm là $ a_0,a_1$ t/mãn $ a_0+a_1=kb_0$ và $ a_0.a_1=b_0^2-k$
ta có $ a_0^2 \geq b_0$
Dễ có $ a_1 \geq a_0$ => từ ta suy ra
$ (a_0-1)(a_1-1)=b_0^2-k-kb_0+1 \geq b_0^2$
=> ><
=> dpcm