Chủ đề này có 1 trả lời

[1001001]

C/m nếu a,b,n nguyên dương thoả mãn a^n-b^n chia hết cho n thì (a^n-b^n)/(a-b) cũng chia hết cho n .

[pnt]

không khó lắm:
nhạn xet1: n N,nếu a b(mod n) thì a^n b^n(mod n^2)
(chứng minh không khó)
Nhận xet2: bài tóan sẽ được giải quyết nếu ta giải được trường hợp n=p^k
(p là số nguyên tố,k>0)
thật vậy: viết n=(p1^a1)(p2^a2)...(pm^am)
(trong đó pi là số nguyên tố;i=1,2,..,m)
khi đó (a^n-b^n) (a^(pi^ai) - b^(pi^ai))
=>(a^n-b^n)/(a-b) (a^(pi^ai) - b^(pi^ai))/(a-b) pi^ai
(với mọi i=1,2,...,m)
=>(a^n-b^n)/(a-b) n
tóm lại bài tóan chỉ còn là chứng minh với n=p^k
nếu a-b=1:=>(a^n-b^n)/(a-b)=a^n-b^n n
nếu a-b>1:
vơi mỗi p|(a-b) (p là số nguyên tố),đặt:
a-b=(p^c)h, với (h,p)=1

nếu c k:
theo nhận xét 1 thì:a^n-b^n =f.(p^2k)=>(a^n-b^n)/(a-b) n
nếu c k:
a^n-b^n=(b+h(p^c))^n-b^n
khai triển ra bằng nhị thức Newton, ta có ngay (a^n-b^n)/(a-b) n