Chủ đề này có 1 trả lời

[TamTam]

TamTam xin đại diện đội ĐN post đề toán rời rạc.

Tìm tất cả các số tự nhiên $k$ sao cho tồn tại tập hợp $M$ gồm $10$ số thực dương thoả mãn điều kiện : có đúng $k$ tam giác khác nhau với các độ dài cạnh bằng ba (không nhất thiết phân biệt) trong số các phần tử của $M$ (hai tam giác được gọi là khác nhau nếu chúng không đồng dạng).


Chúc các đội thi đấu thành công!

[vnm]

Ta chứng minh với $n\geq\3$ thay cho 10 mọi giá trị của k thỏa mãn là $n\leq\ k\leq\ \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+n^2-n+1$
Do có đúng $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$ tam giác có 3 cạnh phân biệt lấy trong tập M;n(n-1) tam giác cân ko đều và 1 tam giác đều nên có $k\leq\ \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+n^2-n+1$
Xét a_1<...<a_n là các giá trị phân biệt thuộc tập M nên có ít nhất n tam giác không đồng dạng là $(a_1;a_1;a_1)(a_1;a_2;a_2);...(a_1;a_n;a_n)$ nên $n\leq\ k$
Ta chứng minh quy nạp theo n là k có thể nhận mọi giá trị trong khoảng đấy
Với n=3 dễ kiểm tra khẳng định đúng
giả sử khẳng định đúng với n,ta chứng minh nó đúng với n+1
Nếu $k=n+i$ i=1,2...n ta xét tập $(a;a^2...a^n;a^{n+i})$ với a>2 .Dễ thấy không tồn tai tam giác có 3 cạnh phân biệt lấy từ tập trên,và có đúng n+i tam giác cân không đồng dạng là $(a;a;a)(a;a^2;a^2)...(a;a^n;a^n) (a;a;a^{n+i});(a^2;a^2;a^{n+i})...(a^i;a^i;a^{n+i})$
Nếu $2n+1\leq\ k\leq\ \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+n^2+1$, thì ta có$ n+1\leq\ k-n\leq\ \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+n^2-n+1$, theo quy nạp tồn tại 1 tập $(a_1..a_n)$ mà có đúng k-n tam giác ko đồng dạng có cạnh thuộc tập trên,thêm vào đó a_{n+1} thỏa mãn $a_{n+1}>2a_n$ và tam giác có 3 cạnh $(a_{n+1};a_{n+1};a_i) i\leq n$ không đồng dạng với các tam giác đã có thì tập $(a_1...a_{n+1})$ có thêm đúng n tam giác dạng $(a_{n+1};a_{n+1};a_i)$,vậy thỏa mãn có đúng k tam giác ko đồng dạng có cạnh thuộc tập đó
Nếu $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+n^2+1\leq\ k\leq \ \dfrac{(n+1)n(n-1)}{6}+n^2+n+1$ ta chọn 1 tập $(a_1..a_n)$ sao cho có đúng $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+n^2-n+1$ tam giác ko đồng dạng có cạnh thuộc tập trên và các tổng dạng a_i+a_j(i,j không nhất thiết phân biệt) là đôi một phân biệt(dễ thấy luôn chọn được).Có tất cả n^2 tổng,giả sử là $b_1<..<b_{n^2}$ .Ta xét $l=k- \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}-n^2-1$ thì $l\leq\ n^2$ chọn $b_{n^2-l}<a_{n+1}<b_{n^2-l+1}$ thì có đúng l tam giác có 1 cạnh là a_{n+1} và 2 cạnh còn lại thuộc tập trên(có thể trùng nhau),ta dễ chọn được a_{n+1} để tam giác này không đồng dạng với tam giác nào đã tồn tại,có thêm n tam giác dạng (a_{n+1};a_{n+1};a_i) và số tam giác là
$\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}+n^2-n+1+l+n=k $
Vậy ta có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vnm: 22-08-2007 - 19:05