Trên một đường tròn ta lấy 3k($k \in N$) điểm,chia đường tròn thành 3k cung, trong đó có k cung có độ dài bằng 1,k cung có độ dài bằng 2,k cung có độ dài bằng 3.Chứng minh rằng tồn tại 2 điểm đã lấy đối xứng với nhau qua tâm của đường tròn.
#1
Đã gửi 06-09-2007 - 15:26
mathboy_cnt
-
- Thành viên
-
- 55 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 30-09-2007 - 02:15
FOOL90
-
- Thành viên
-
- 628 Bài viết
Thiếu úy
Kí hiệu $ 3k$ điểm đó theo thứ tự quay đồng hồ là $ A_1;A_2;....A_{3k}$
Nếu $ A_i A_{i+1} =t \ \ t\in (1,2.3) $ thì gọi cung $ A_i A_{i+1} $ là cung$t$
nhu vậy ta có 3 loại cung là cung 1 ; cung 2; cung 3.
Giả sử không tồn tại $ A_i A_j $ sao cho $ A_i A_j =3k$ .
Khi đó với mỗi $ A_i $ thì độ dài cung có đỉnh đầu $ A_i $ lớn nhất, nhỏ hơn $ 3k$ sẽ là 3k-1 hoặc 3k-2
Giả sử có m điểm $ A_i $ để cung lớn nhất bằng $3k-1$
n điểm $ A_i $ để cung lớn nhất bằng $3k-2$
Ta có đẳng thức $ m+n =3k$
Bằng cách xét các cung 2 và cung 1 , ta có các BDT sau:
$ n \geq 2k $
$ m \geq k $ (**)
như vậy xảy ra dấu đẳng thức tại (**) suy ra:
một cung độ dài $3k-1$ luôn có đỉnh đầu là đỉnh cuối của cung 2.
từ đó lập luận <nhìn hình vẽ > ta có đưòng tròn chứa nhiều hơn $k$ cung 2
Nếu $ A_i A_{i+1} =t \ \ t\in (1,2.3) $ thì gọi cung $ A_i A_{i+1} $ là cung$t$
nhu vậy ta có 3 loại cung là cung 1 ; cung 2; cung 3.
Giả sử không tồn tại $ A_i A_j $ sao cho $ A_i A_j =3k$ .
Khi đó với mỗi $ A_i $ thì độ dài cung có đỉnh đầu $ A_i $ lớn nhất, nhỏ hơn $ 3k$ sẽ là 3k-1 hoặc 3k-2
Giả sử có m điểm $ A_i $ để cung lớn nhất bằng $3k-1$
n điểm $ A_i $ để cung lớn nhất bằng $3k-2$
Ta có đẳng thức $ m+n =3k$
Bằng cách xét các cung 2 và cung 1 , ta có các BDT sau:
$ n \geq 2k $
$ m \geq k $ (**)
như vậy xảy ra dấu đẳng thức tại (**) suy ra:
một cung độ dài $3k-1$ luôn có đỉnh đầu là đỉnh cuối của cung 2.
từ đó lập luận <nhìn hình vẽ > ta có đưòng tròn chứa nhiều hơn $k$ cung 2
Hình gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FOOL90: 30-09-2007 - 02:25
Take it easy
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
