Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho $A=2^{16}+2^{19}+2^n$ là số chính phương
Tìm n
Bắt đầu bởi Lity124, 23-09-2007 - 17:14
#2
Đã gửi 23-09-2007 - 23:04
hoang tuan anh
-
- Thành viên
-
- 854 Bài viết
^^
nếu $n \leq 16$
xét đồng dư mod 3 ta có n chẵn
như vậy cần tìm n để $2^{16-n}+2^{19-n}+1$ là số chính phương
xét đồng dư mod 5 và mod 7 ta có n phải chia hết cho 4 và chia 7 dư 0;5;4
từ đây ta có n=0;4;12 thử vào loại hết
nếu $n \geq 16$
cần tìm n để $9+2^{n-16}=t^2$
do đó $2^{n-16}=(t-3)(t+3)$
dễ thấy $t+3 = 2^s$ và $t-3 = 2^q$ sao cho s+q = n-16
$2^q(2^{s-q}-1)=6$ do đó q=1 ; s=3 vậy n = 20
ta cũng có luôn 20 là nghiệm duy nhất
xét đồng dư mod 3 ta có n chẵn
như vậy cần tìm n để $2^{16-n}+2^{19-n}+1$ là số chính phương
xét đồng dư mod 5 và mod 7 ta có n phải chia hết cho 4 và chia 7 dư 0;5;4
từ đây ta có n=0;4;12 thử vào loại hết
nếu $n \geq 16$
cần tìm n để $9+2^{n-16}=t^2$
do đó $2^{n-16}=(t-3)(t+3)$
dễ thấy $t+3 = 2^s$ và $t-3 = 2^q$ sao cho s+q = n-16
$2^q(2^{s-q}-1)=6$ do đó q=1 ; s=3 vậy n = 20
ta cũng có luôn 20 là nghiệm duy nhất
HTA
dont put off until tomorrow what you can do today
#3
Đã gửi 24-09-2007 - 13:42
vietkhoa
-
- Thành viên
-
- 644 Bài viết
Thiếu úy
Đây là lời giải của đề thi HSG Huế 2005, bài này tương tự với bài đã đưa.
Đề bài: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để $2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương.
Đề bài: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để $2^8+2^{11}+2^n$ là số chính phương.
Hình gửi kèm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietkhoa: 24-09-2007 - 13:50
Diễn đàn Toán đã quay trở lại!!!Hoan hô!!!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
