Chủ đề này có 2 trả lời

[Huy_Boy_1993]

Cho $a,b,c > 0$ thỏa $a+b+c=1$. CMR $\dfrac{1}{ab+2c^2+2c} + \dfrac{1}{bc+2a^2+2a} + \dfrac{1}{ac+2b^2+2b} \geq \dfrac{1}{ab+bc+ca} $

[andrew wiles]

Đây là đề chọn ĐT IMO của Thổ Nhĩ Kỳ 2007.Nhân cả tử và mẫu phân số thứ nhất với (ab)^2,phân số thứ 2 với (bc)^2 ,phân số thứ 3 với (ac)^2,sau đó dùng bddt Svacxo.Ok?

[chien than]

Cách 1:
$ ab+2 c^2+2c=ab+2c^2+2c(a+b+c)=ab+2ac+2bc+4c^2=a(b+2c)+2c(b+2c)=(a+2c)(b+2c)$
ta có: $\dfrac{1}{(ab+2c^2+2c)}=\dfrac{1}{(2c+a)(2c+b)}= \dfrac{4ab}{4(2ac+ab)(2bc+ab)}\ge \dfrac{ab}{(ab+bc+ca)^2}=\dfrac{ab}{((ab+bc+ca)^2)}$
Tương tự ta có: $\dfrac{1}{(ac+2b^2+2b)}\ge \dfrac {ac}{((ab+ac+bc)^2)}$
$\dfrac{ 1}{(bc+2a^2+2a)}\ge \dfrac {bc}{((ab+ac+bc)^2)}$
=>đpcm



Cách 2:
Bài này đơn giản chỉ là đồng bậc :
$<=> \sum \dfrac{1}{(2c+a)(2c+b)} \geq \dfrac{1}{ab+bc+ac}$
$<=> \sum \dfrac{ab+bc+ac}{(2c+a)(2c+b)} \geq 1$
$<=> \sum \dfrac{2(ab+bc+ac)}{(2c+a)(2c+b)} \geq 2$
$<=> \sum \dfrac{b(2c+a)+a(2c+b)}{(2c+a)(2c+b)} \geq 2$
$<=> \sum ( \dfrac{b}{2c+b}+\dfrac{a}{2c+a}) \geq 2$
BDT cuối cùng hiển nhiên đúng. Nó đc suy ra trực tiếp từ 2 BDT sau :
$\sum \dfrac{b}{2c+b} \geq 1 $
$\sum \dfrac{a}{2c+a} \geq 1$
2 BDT trên tiêu diệt nhanh chóng bởi schwarz ineq