Chủ đề này có 5 trả lời

[Duck_Pro]

Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
$ \dfrac{1}{1-ab}+\dfrac{1}{1-bc}+\dfrac{1}{1-ca} $ $ \dfrac{27}{8} $

[phandung]

Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
$ \dfrac{1}{1-ab}+\dfrac{1}{1-bc}+\dfrac{1}{1-ca} $ $ \dfrac{27}{8} $

Hi Bài ni có thể giải theo cách sau (Nếu sai thì thui zay)
$ \dfrac{1}{1-ab} \leq \dfrac{1}{1- \dfrac{(1-c)^2}{4} } = \dfrac{4}{3+2c-c^2} $
Ta sẽ chứng minh là $ \sum \dfrac{1}{3+2a-a^2} \leq \dfrac{27}{32} $ Thạt vậy Giả sử $ \sum \dfrac{1}{3+2a-a^2}= \dfrac{27}{32} \geq \dfrac{9}{9+2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)} \Rightarrow 2(a+b+c) \geq \dfrac{5}{3}+(a^2+b^2+c^2) \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2+ \dfrac{5}{3} \Rightarrow a+b+c \geq 1 $ Okie rùi

[akai]

Hi Bài ni có thể giải theo cách sau (Nếu sai thì thui zay)
$ \dfrac{1}{1-ab} \leq \dfrac{1}{1- \dfrac{(1-c)^2}{4} } = \dfrac{4}{3+2c-c^2} $
Ta sẽ chứng minh là $ \sum \dfrac{1}{3+2a-a^2} \leq \dfrac{27}{32} $ Thạt vậy Giả sử $ \sum \dfrac{1}{3+2a-a^2}= \dfrac{27}{32} \geq \dfrac{9}{9+2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)} \Rightarrow 2(a+b+c) \geq \dfrac{5}{3}+(a^2+b^2+c^2) \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2+ \dfrac{5}{3} \Rightarrow a+b+c \geq 1 $ Okie rùi

Sai to rùi bác ui! Bác làm thế này
$ \sum \dfrac{1}{3+2a-a^2}= \dfrac{27}{32} \geq \dfrac{9}{9+2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)}$
là CM 1 điều hiển nhiên rùi (nếu BĐT cần CM là đúng:D)

Và phải nói lại rằng,BĐT $ \sum \dfrac{1}{3+2a-a^2} \leq \dfrac{27}{32} $
sai . Thử với $a=b=0,c=1$

Còn LG đúng thì... để đàn em nghĩ đã

[phandung]

Sai to rùi bác ui! Bác làm thế này
$ \sum \dfrac{1}{3+2a-a^2}= \dfrac{27}{32} \geq \dfrac{9}{9+2(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)}$
là CM 1 điều hiển nhiên rùi (nếu BĐT cần CM là đúng:D)

Và phải nói lại rằng,BĐT $ \sum \dfrac{1}{3+2a-a^2} \leq \dfrac{27}{32} $
sai . Thử với $a=b=0,c=1$

Còn LG đúng thì... để đàn em nghĩ đã

À lúc đó đang vội nên khong đọc kĩ đề *) lời giải trên chỉ đúng với trương hợp là a, b, c dương thui còn nếu không dương thì đang xem xét lại thanks akai!

[akai]

lời giải trên chỉ đúng với trường hợp là a, b, c dương thui

Em nghĩ là LG đó ko đúng với cả a,b,c dương bác ui

[Duck_Pro]

Bài này có một cách là xét 1 tam thức bậc hai theo a, b, c (nếu một cái là ẩn thì hai cái còn lại là tham số), sau đó làm tiếp (bằng cách khai triển tương đương và các bất đẳng thức đơn giản) nhưng nó dài quá (mất tận 1 trang giấy rưỡi) nên em cần một cách khác ngắn hơn.
Em thấy hình như cách của phandung không dùng được thì phải (không phải đoạn sau mà là từ ngay đoạn đầu cơ - vì nếu làm như vậy thì đoạn sau toàn ra ngược dấu thôi) .