Đề thi học sinh giỏi quận Ba Đình năm học 2007-2008
Bài 1(6 điểm ) Cho biểu thức
$P=\dfrac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-4}+\dfrac{3\sqrt{x}+7}{2\sqrt{x}-3}-\dfrac{28\sqrt{x}-47}{2x-11\sqrt{x}+12}$
a/Rút gọn biểu thức P
b/tìm giá trị của $x$ để $P < 0$
Bài 2(3 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=xy+2yz+xz $ trong đó $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện :
$x\geq y \geq z >0$ và $1+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}x^2=z^2=5-4y^2$
Bài 3( 4 điểm ) Cho đường tròn tâm O bán kính 3 cm và đường tròn tâm O' bán kính 4 cm tiếp xúc ngoài tại A , tiếp tuyến chung EF . Đường thẳng qua A song song với EF cắt đường tròn tâm O tại P và cắt đường tròn tâm O' tại Q . Tính độ dài đoạn PQ .
Bài 4( 4 điểm ) CHo đường tròn tâm O và điểm A ngoài đường tròn . Kẻ 2 tiếp tuyến AB , AC với đường trong (O) . Gọi E và F thứ tự là trung điểm của AB và AC . CHo điểm M trên cung nhỏ BC ( Khác giao điểm của OA với đường tròn (O)) . Gọi H là giao điểm của OA với EF . Trung trực của đoạn thẳng AM cắt đường thẳng EF tại P . Chứng minh đường thẳng PM tiếp xúc với đường tròn (O) .
Bài 5(3 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình
$y^2=x^4-x^3+3x^2+13x+8 $