KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM 2008
Câu 1:Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình (ẩn $x,y$) sau:
$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^3=29\\log_{3}x.log_{2}y=1\end{array}\right.$
Câu 2:Cho tam giác ABC có góc $\widehat{BEC}$ là góc nhọn,trong đó E là trung điểm của AB.Trên tia EC lấy điểm M sao cho $\widehat{BME}= \widehat{ECA}$ .Kí hiệu $\alpha$ là số đo của góc $\widehat{BEC}$ ,hãy tính tỉ số $\dfrac{MC}{AB}$ theo $\alpha $
Câu 3:Đặt $m=2007^{2008}$.Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên n mà $n<m$ và $n(2n+1)(5n+2)$ chia hết cho m?
Câu 4:Cho dãy số thực $(x_n)$ được xác định như sau:
$x_1=0,x_2=2$ và $x_{n+2}=2^{-x_n}+\dfrac{1}{2}$ với mọi $n=1,2,3...$
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn khi $n \leftrightarrow +\infty $.Hãy tìm giới hạn đó
Câu 5:Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9 mà mỗi số gồm tối đa 2008 chữ số và trong đó có ít nhất 2 chữ số 9?
Câu 6:Cho x,y,z là các số thực không âm ,đôi một khác nhau.Chứng minh rằng
$(xy+yz+zx)(\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2})\geq 4$
Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 7:Cho tam giác ABC,trung tuyến AD.Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD.Xét điểm M nằm trên d.Gọi E,F lần lượt là trung điểm của MB,MC.Đường thẳng đi qua E và vuông góc với d cắt đường thẳng AB ở P,đường thẳng đi qua F và vuông góc với d cắt đường thẳng AC ở Q.CMR đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng PQ luôn đi qua 1 điểm cố định ,khi điểm M di động trên đường thẳng d.
