Chủ đề này có 8 trả lời

[Ioseph Djugatchvili]

Problem: Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $ab+bc+ca=1$. Prove that: $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

[Songohan]

$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{a + b}}} = \dfrac{{(a + b + c)^2 + ab + bc + ca}}{{(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc}}$
Đặt $p = a + b + c,q = ab + bc + ca=1,r = abc$
$p^2 \ge 3q = 3 \Rightarrow p \ge \sqrt 3 $
bdt tương đương với
$3p(p - \sqrt 3 ) + 3\sqrt 3 r + 2 \ge 0$ (đúng)
vậy ta có đpcm, đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

[Ioseph Djugatchvili]

$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{a + b}}} = \dfrac{{(a + b + c)^2 + ab + bc + ca}}{{(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc}}$
Đặt $p = a + b + c,q = ab + bc + ca=1,r = abc$
$p^2 \ge 3q = 3 \Rightarrow p \ge \sqrt 3 $
bdt tương đương với
$3p(p - \sqrt 3 ) + 3\sqrt 3 r + 2 \ge 0$ (đúng)
vậy ta có đpcm, đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

My inequelity is wrong! You see? Is your solution wrong?

[Songohan]

$\sum\limits_{cyc} {\dfrac{1}{{a + b}}} = \dfrac{{(a + b + c)^2 + ab + bc + ca}}{{(a + b + c)(ab + bc + ca) - abc}}$
Đặt $p = a + b + c,q = ab + bc + ca=1,r = abc$
$p^2 \ge 3q = 3 \Rightarrow p \ge \sqrt 3 $
bdt tương đương với
$3p(p - \sqrt 3 ) + 3\sqrt 3 r + 2 \ge 0$ (đúng)
vậy ta có đpcm, đẳng thức xảy ra khi a=b=c=$\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$

Sorry it must be $2p^2-3\sqrt3p + 3\sqrt 3 r + 2 \ge 0$
You right! your inequality is wrong : a=0.8,b=0.6,c=$\dfrac{13}{35}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4232: 17-02-2008 - 13:21

[dduclam]

Problem: Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $ab+bc+ca=1$. Prove that: $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

I think right inequality is $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{5}{2}$
It's Hoojo Lee problem!

[Songohan]

I think right inequality is $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \dfrac{5}{2}$
It's Hoojo Lee problem!

How strange this ineq is! Can you post your way to solve?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 4232: 20-02-2008 - 15:25

[vo thanh van]

Cái bài của Hoojo Lee đó cũng dễ mà,có hình như cũng đã có 1 topic nói rồi đó,4232 làm thử xem

[Sao_bang_lanh_gia]

How strange this ineq is! Can you post your way to solve?

Hình như bài này đã có trong STBDT của Phạm Kim Hùng rồi mà

[vo thanh van]

uh,nó cũng xuất hiện ở nhiều nơi rồi,cũng không khó