Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh n đều tồn tại đa thức P(x) mà P(1),...,P(n) có dạng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^a, trong đó các giá trị a đôi một phân biệt
qui nạp
Bắt đầu bởi lovePearl_maytrang, 17-05-2005 - 16:47
#1
Đã gửi 17-05-2005 - 16:47
#2
Đã gửi 19-05-2005 - 08:07
Quy nạp theo n.
n=1 lấy http://dientuvietnam...x.cgi?f_{n 1}(x)=f_n(x)
Nếu http://dientuvietnam...imetex.cgi?(d;p)=1
Dễ chứng minh được rằng (n!;d)=1.Tồn tại u,v sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?ud^k-v.n!=1
Đặthttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t=p^{kc}v suy ra http://dientuvietnam...cgi?f_{n 1}(n 1)=up^{kc}d^k-p^{kc}.v.n!=p^{kc}(ud^k-v.n!)=p^{kc}.ĐPCM
Nhận xét : Bài toán cũng đúng với p=2.
n=1 lấy http://dientuvietnam...x.cgi?f_{n 1}(x)=f_n(x)
Nếu http://dientuvietnam...imetex.cgi?(d;p)=1
Dễ chứng minh được rằng (n!;d)=1.Tồn tại u,v sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?ud^k-v.n!=1
Đặthttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t=p^{kc}v suy ra http://dientuvietnam...cgi?f_{n 1}(n 1)=up^{kc}d^k-p^{kc}.v.n!=p^{kc}(ud^k-v.n!)=p^{kc}.ĐPCM
Nhận xét : Bài toán cũng đúng với p=2.
#3
Đã gửi 20-05-2005 - 07:29
#4
Đã gửi 20-05-2005 - 15:00
Có lẽ là lehoan nhầm rồi đấy.Không biết bạn nhầm hay tôi nhầm???
Đặt
@:mà anh LPMT lúc nào ra học đội tuyển quốc tế có bài nào hay thì cố gắng post lên cho mọi người tham khảo nhé .Cảm ơn anh trước
#5
Đã gửi 20-05-2005 - 16:39
Chính xác thì phải là thế này:
Với n giả sử đã có P(x) thỏa mãn
n+1: Tìm Q(x) dưới dạng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q(x)=p^mP^k(x)-A(x-1)...(x-n)
Q(n+1)=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^mP^k(n+1)-A.n!=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^t.q,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P(n+1)=p^r.s
(s,q)=(p,q)=1
Chọn k (q) suy ra http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k 1(mod q)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?s^k-bq=p^kNếu rk t cho m=0,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=b.p^{rk-t}
Nếu rk<t cho m=t-rk, A=b
Mấu chốt của bài này là ta có thể làm hai việc đối với P(x), đó là lũy thừa nó lên và nhân nó cho lũy thừa đúng của p.Đây là điều không thể nhận ra ngay được.
Với n giả sử đã có P(x) thỏa mãn
n+1: Tìm Q(x) dưới dạng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Q(x)=p^mP^k(x)-A(x-1)...(x-n)
Q(n+1)=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^mP^k(n+1)-A.n!=http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^t.q,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P(n+1)=p^r.s
(s,q)=(p,q)=1
Chọn k (q) suy ra http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k 1(mod q)
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?s^k-bq=p^kNếu rk t cho m=0,http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A=b.p^{rk-t}
Nếu rk<t cho m=t-rk, A=b
Mấu chốt của bài này là ta có thể làm hai việc đối với P(x), đó là lũy thừa nó lên và nhân nó cho lũy thừa đúng của p.Đây là điều không thể nhận ra ngay được.
Ghé thăm blog nhé:
http://360.yahoo.com/steppe2205
http://360.yahoo.com/steppe2205
#6
Đã gửi 18-02-2006 - 14:53
một bài gần giống :
Cho đa thức http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n và số nguyên dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p thỏa mãn:
i/http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a_1,p)=1
ii/http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_2,..,a_n chia hết cho các thừa số NT của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p
CM với mỗi k tồn tại a sao cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(a) chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k
Các bạn làm thử xem!!
Cho đa thức http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n và số nguyên dương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p thỏa mãn:
i/http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a_1,p)=1
ii/http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a_2,..,a_n chia hết cho các thừa số NT của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p
CM với mỗi k tồn tại a sao cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?P(a) chia hết cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^k
Các bạn làm thử xem!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dhkhtn-tnt: 19-02-2006 - 12:08
#7
Đã gửi 18-02-2006 - 16:12
BẠn dhkhtn-tnt xem lại đề bài đi
Bài khác:cho thỏa mãn tồn tại a sao cho p|P(a);p không chia hết P'(a).Khi đó với mọi n tồn tại duy nhất r_n(mod p^n) sao cho
Bài khác:cho thỏa mãn tồn tại a sao cho p|P(a);p không chia hết P'(a).Khi đó với mọi n tồn tại duy nhất r_n(mod p^n) sao cho
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvd: 18-02-2006 - 16:13
:”...và đột nhiên ,hoàn toàn bất ngờ,tôi đã có được sự phát hiện huyền diệu đó...Nó đẹp đến mức không sao mô tả nổi ,mà lại đơn giản và tao nhã nữa..."
andrews wiles
andrews wiles
#8
Đã gửi 19-02-2006 - 12:28
Nhớ lộn đề là p nguyên tố,nhưng nếu p nguyên tố thì cũng chẳng sai!
#9
Đã gửi 20-02-2006 - 10:01
Không biết là tôi có nhầm không nhưng mà bài toán xác định đa thức bậc n khi đã biêt giá trị của nó tại n điểm là bài toán quá dễ mà. Bạn cứ cho giá trị của nó tại 1,2,..,n tương ứng là p^{1},a^{2},..., p^{n} còn lấy thêm một giá trị bất kì nữa và dùng Công thức Lagrăng là xong mà.
#10
Đã gửi 09-09-2006 - 18:33
bài của dhkhtn dùng qui nạp theo n , p không nguyên tố vẫn đúng
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh