9 replies to this topic

[Lity124]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn :$ 3^{-x}+ 3^{-y} + 3^{-z} =1 $.Chứng minh rằng : $ \dfrac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+ \dfrac{9^y}{3^y+3^{z+x}} + \dfrac{9^z}{3^z+3^{x+y}} \geq \dfrac{3^x+3^y+3^z}{4} $

[mai quoc thang]

Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn :$ 3^{-x}+ 3^{-y} + 3^{-z} =1 $.Chứng minh rằng : $ \dfrac{9^x}{3^x+3^{y+z}}+ \dfrac{9^y}{3^y+3^{z+x}} + \dfrac{9^z}{3^z+3^{x+y}} \geq \dfrac{3^x+3^y+3^z}{4} $

Đặt $\ a=3^x,b=3^y,c=3^z$,rồi dùng B.C.S là ra.

[Lity124]

Đặt $\ a=3^x,b=3^y,c=3^z$,rồi dùng B.C.S là ra.

Ta sẽ được :$a,b,c>0$ thỏa mãn :$ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}=1 $.Và cần CM:$ \dfrac{a^2}{a+bc} + \dfrac{b^2}{b+ca} + \dfrac{c^2}{ab} \geq \dfrac{a+b+c}{4} $
Bạn dùng BCS ? Mình nghĩ là không ra ! (BDT ngược chiều)

[y chi]

$\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a}{(b-1)(c-1)}$
Do đó: $\sum \dfrac{a}{(b-1)(c-1)} \geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)(\dfrac{1}{(b-1)(c-1)}+\dfrac{1}{(b-1)(a-1)}+\dfrac{1}{(a-1)(c-1)})$.Với $a \geq b \geq c$
Vậy cần c/m: $ \sum \dfrac{1}{(a-1)(b-1)} \geq \dfrac{3}{4}$.Qui đồng là ra.

[duyenmit]

$ a^{2}+abc= a^{2}+ab+bc+ca=(a+b)(a+c) $.Tương tự với b,c.
Ta phải chứng minh$ /sum /frac{ a^{3} }{(a+b)(a+c)} /frac{a+b+c}{4} $
ta có$ /frac{ a^{3} }{(a+b)(a+c)}+ /frac{a+b}{8}+ /frac{a+c}{8} /frac{3a}{4} $.Làm tương tự rồi cộng lại có dpcm
Xin lỗ lâu ngày không gõ quên mất cách gõ rồi bạn nào chỉnh sửa hộ cái

Edited by duyenmit, 21-04-2008 - 00:49.

[H.Quân- ĐHV]

có lẽ bạn giải thế này

ta có $a^2 + abc = (a+b)(a+c) $ nên $\dfrac{a^2}{a+bc} = \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) }$ sử dụng cô si

$ \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) } + \dfrac{ a+b}{8} + \dfrac{ a+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$ thay vào có đpcm.

[duyenmit]

Đúng vậy đó

[Lity124]

có lẽ bạn giải thế này

ta có $a^2 + abc = (a+b)(a+c) $ nên $\dfrac{a^2}{a+bc} = \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) }$ sử dụng cô si

$ \dfrac{ a^3}{ (a+b)(a+c) } + \dfrac{ a+b}{8} + \dfrac{ a+c}{8} \ge \dfrac{3a}{4}$ thay vào có đpcm.

Có lẽ là LG của nó là thế ( mình cũng đã làm như thế này ).Bởi thi ĐH không đến nỗi phải dùng Trê-bư-sep như y chi. Với lại việc "phát hiện " ra đẳng thức :$ \dfrac{a^2}{a+bc}= \dfrac{a}{(b-1)(c-1)} $
cũng........lằng nhằng ( đến bây giờ mình vẫn chưa hiểu tại sao lại tìm ra nó )

[H.Quân- ĐHV]

thêm một bài thi thử đại học

cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $8^a + 8^b + 8^c = 3 $ cm

$\dfrac{ 4^a}{3-4^a} + \dfrac{ 4^b}{3-4^b} + \dfrac{ 4^c}{3-4^c} \ge \dfrac{3}{2}.$

[mai quoc thang]

Đặt:$\ x^{3}=8^{a};y^{3}=8^{b};z^{3}=8^{c}$.Dễ thấy x,y,z>0 và$\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương $\dfrac{x^2}{3-x^2}+\dfrac{y^2}{3-y^2}+\dfrac{z^2}{3-z^2} \geq \dfrac{3}{2}$ .
Ta có $\dfrac{x^2}{3-x^2} \geq \dfrac{x^{3}}{2} \Leftrightarrow (x+2)(x-1)^{2} \geq 0 $.Chứng minh tương tự cho hai cái còn lại rồi cộng lại,kết hợp với$\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$ suy ra ĐPCM.


cách làm này đã quá quen thuộc với một số bạn