Chủ đề này có 14 trả lời

[supermember]

Bài toán

Cho các số dương $a , b ,c$ thỏa $a^{4} + b^{4} + c^{4} = 3$

Chứng minh rằng

$ \dfrac{a^{2}}{b+c} + \dfrac{b^{2}}{c+a} + \dfrac{c^{2}}{a+b} \geq \dfrac{3}{2} $

bài khá hay

Tặng mọi người đặc biệt là các bạn lớp 12

Người hùng TVƠ yêu An mãi mãi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 20-04-2008 - 13:10

[zaizai]

Bên Mathlinks arquady đưa ra bài này và post lời giải rồi. Khá là xấu
http://www.mathlinks...bcbbcce9655ff81

[shockmath_xayda]

ko hiểu
ko có đk a^4+b^4+c^4=3 thì BĐT vẫn đúng mà

[H.Quân- ĐHV]

ko hiểu
ko có đk a^4+b^4+c^4=3 thì BĐT vẫn đúng mà

đúng thế nào được hả bạn$ \ge \dfrac{a+b+c}{2}$ thôi

[duca1pbc]

cách giải của bài toán này có lẽ chỉ có nước xấu xí như của bác arquady thôi.Tuy nhiên nó là bdt rất mạnh và nếu c/m đc bài toán này thì việc giải các bài toán yếu hơn là quá dễ dàng.Bdt cũng đúng với k=5

[zaizai]

hehe đc cái chém gió là máu thôi cu Đức ai thử hàm lồi chưa

[shockmath_xayda]

mình nghĩ bài này dùng được cauchy bằng cách mũ 4 cả 2 vế lên
khi đó áp dụng cô-si cho bậc8+bậc4+bậc4+bậc4 >=bậc4
còn ở mấu số cái (a+b)^4 =<a^4+b^4
chắc là đánh giá được

[duca1pbc]

hehe đc cái chém gió là máu thôi cu Đức ai thử hàm lồi chưa

Già yếu rồi nên chỉ đi chém gió cho vui thôi

mình nghĩ bài này dùng được cauchy bằng cách mũ 4 cả 2 vế lên
khi đó áp dụng cô-si cho bậc8+bậc4+bậc4+bậc4 >=bậc4
còn ở mấu số cái (a+b)^4 =<a^4+b^4
chắc là đánh giá được

có bdt đó thật à.Phục quá

[zaizai]

bài này chắc không đơn giản như bạn nói được đâu xem ra để kiếm 1 lời giải thuần túy đẹp mắt chả phải là việc dễ lắm. Mình cũng chưa có thời gian thử nhưng mà cũng chả có ý tưởng gì ngoài hàm số Bài này thì p,q,r chắc ko đơn giản vì để khử được cái điều kiện chắc cũng bở hơi tai rồi

[duca1pbc]

a^4+b^4+c^4 đưa về p,q,r chắc cũng trâu nhỉ.Những người sức khỏe như Zaizai chắc là đc thôi

[supermember]

Ghớm , mấy bố đoán mò vừa thôi

Bài của người ta đẹp thế mà cứ nói vớ vẩn

Kí hiệu vế trái của Bđt là $A$



Trước hết ta sẽ cm bổ đề sau :


Với $x ,y , z$ là những số dương tùy ý ta có :


$(x +y + z)^{3} \geq 3(xy + yz +zx)\sqrt{3(x^{2} + y^{2} + z^{2})$ $$



Chuẩn hóa $ x +y + z =3$ và đặt $xy + yz + zx = t$


$ \Leftrightarrow t^{2}(9 - 2t) \leq 27$



Cái này đúng do $ t^{2}(9 - 2t) = t.t.(9-2t) \leq (\dfrac{(9-2t) + 2t}{3})^{3} = 27$($AM - GM$)


$$ được chứng minh hoàn toàn


Bây giờ áp dụng bđt $Holder$ ta có


$A.A.(\sum(a(b+c))^{2} \geq (\sum(a^{2}))^{3} \geq 3(\sum(ab)^{2}) \sqrt{3\sum(a^{4})}$ ( theo $$) $(1)$




$4(\sum(ab)^{2}) = \sum(a^{2}(b^2 + c^2)) + \sum(a^{2}(b^2 + c^2)) \geq \sum(a^{2}(b^2 + c^2)) +\sum(2a^{2}bc) = \sum(a(b+c))^{2}$$(2)$





Từ $(1)$, $(2)$ ta có

$A^{2} \geq 3\dfrac{\sqrt{3\sum(a^{4})}}{4}$

Theo giả thiết thì $a^4 + b^4 + c^4 = 3$

Suy ra $A^{2} \geq \dfrac{9}{4}$

Suy ra $A \geq \dfrac{3}{2}$

Người hùng TVƠ yêu An mãi mãi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 23-04-2008 - 01:08

[mai quoc thang]

ý tưởng này cũng đã có trên Mathlinks rồi !!!!!!!!!!!!

[zaizai]

Lời giải hay phết, nhưng mà cái bổ đề đó có phải từ trên trời rơi xuống ko nhỉ supermember có thể giải thích chút ý tưởng tại sao lại có bổ đề đó ko (hay nó là 1 kết quả quen thuộc?).
@: Lại thắc mắc nữa: supermember là ai vậy nhỉ? Dân Nghệ An đông đảo quá giờ chả nhớ tên nữa

[supermember]

Bổ đề này là 1 kết quả mạnh , quen thuộc , dễ chứng minh

Dùng bổ đề này

Ta có thể chứng minh được ( ngoài bài này) 2 bài nữa cũng rất đẹp và khó


Bài 1 : Romania TST

Cho các số dương $a , b, c$ thỏa $a + b +c = 3$

Chứng minh $ \dfrac{1}{a^{2}}+ \dfrac{1}{b^{2}}+ \dfrac{1}{c^{2}} \geq a^2 + b^2 + c^2$

Bài 2 : Phạm Kim Hùng

Cho các số dương $a , b, c$

Chứng minh
$ \dfrac{a^2}{b} +\dfrac{b^2}{c} +\dfrac{c^2}{a} \geq 3\sqrt[4]{\dfrac{a^4 + b^4 + c^4 }{3}}$

[MyLoveIs4Ever]

Áp dụng Holder ... Đặt $ VT=A $ ta có:



$ A^2 ( \sum a^2(b+c)^2) \geq (a^2+b^2+c^2)^3 $



Ta sẽ CM $ (a^2+b^2+c^2)^3 \geq \dfrac{9}{4}\sqrt{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}}(\sum a^2(b+c)^2) $


bdt $ <=> \dfrac{a^2+b^2+c^2}{\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}} \geq \dfrac{3(\sum a^2(b+c)^2)}{4(a^2+b^2+c^2)^2} $

$ 3(\sum a^2(b+c)^2) - 4(a^2+b^2+c^2)^2 = -\sum (b-c)^2(3a^2+2(b+c)^2) $


bdt


$ <=> \sum (b-c)^2 ( \dfrac{3a^2+2(b+c)^2}{4(a^2+b^2+c^2)^2} - \dfrac{(b+c)^2}{\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}(\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}+a^2+b^2+c^2)} \geq 0 $

Mà $ \sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}(\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)+a^2+b^2+c^2}) \geq 2(a^2+b^2+c^2)^2
=> ( \dfrac{3a^2+2(b+c)^2}{4(a^2+b^2+c^2)^2} - \dfrac{(b+c)^2}{\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}(\sqrt{3(a^4+b^4+c^4)}+a^2+b^2+c^2)} \geq \dfrac{3a^2+(b+c)^2}{4(a^2+b^2+c^2)^2} - \dfrac{(b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)^2} = \dfrac{ 3a^2 }{4(a^2+b^2+c^2)^2} \geq 0 $ =>

$ A^2 \geq \dfrac{9}{4}\sqrt{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}} <=> A \geq \dfrac{3}{2} \sqrt[4]{\dfrac{a^4+b^4+c^4}{3}} $
Vậy ta có dpcm ^^ !!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 23-04-2008 - 10:50