Chủ đề này có 20 trả lời

[vuthanhtu_hd]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
$2(a+b+c) \geq \sqrt[3]{a^{3}+7}+\sqrt[3]{b^{3}+7}+\sqrt[3]{c^{3}+7}$

[vuthanhtu_hd]

Bài hay vậy mà chẳng thấy ai làm vậy ta?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 29-04-2008 - 17:25

[H.Quân- ĐHV]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
$2(a+b+c) \geq \sqrt[3]{a^{3}+7}+\sqrt[3]{b^{3}+7}+\sqrt[3]{c^{3}+7}$

bài này không có ai giải vì sai đề : chữa $\ge $thành$ \le$ thì có thể đúng

xét $f(x) = 2x - \sqrt[3]{x^3 +7} $thế thì $f"(x) = \dfrac{ -14x}{ \sqrt[3]{(x^3 +7)^5 } } \Rightarrow f"(x) \le 0 ( x \ge 0) $
$f(x)$ là hàm lồi nên $f(x) + f(y) + f(x) \le 3f(\dfrac{x+y+z}{3} ) $ thay vào ra kết quả

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi H.Quân- ĐHV: 29-04-2008 - 19:18

[slbadguy]

bài này không có ai giải vì sai đề : chữa $\ge $thành$ \le$ thì có thể đúng

xét $f(x) = 2x - \sqrt[3]{x^3 +7} $thế thì $f"(x) = \dfrac{ -14x}{ \sqrt[3]{(x^3 +7)^5 } } \Rightarrow f"(x) \le 0 ( x \ge 0) $
$f(x)$ là hàm lồi nên $f(x) + f(y) + f(x) \le 3f(\dfrac{x+y+z}{3} ) $ thay vào ra kết quả

Cái đề đúng rồi. Mà dùng Jensen kiểu này khó ra quá.

[H.Quân- ĐHV]

Cái đề đúng r?#8220;i. Mà dùng Jensen kiểu này khó ra quá.

đề đúng thì bạn thử thay a = 2 ,b = 1/2 , c = 1 xem sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi H.Quân- ĐHV: 29-04-2008 - 22:11

[slbadguy]

Dùng máy tính thì $f(1) + f(2) + f(\dfrac{1}{2}) = 0.60953736 \ge 0$.
Đề vẫn đúng.

[H.Quân- ĐHV]

Dùng máy tính thì $f(1) + f(2) + f(\dfrac{1}{2}) = 0.60953736 \ge 0$.
Đề vẫn đúng.

ừ ! tính bằng tay nên sai . Mà lời giải theo JenSen cũng sai nốt (dấu$ \ge $)! sr mọi người

[duca1pbc]

thử Jensen kiểu tích cái

[zaizai]

Bài này nhìn cũng thú vị đấy nhưng mà không khó Chỉ cần đánh giá hàm:
$f(x)=2x-\dfrac{7\ln{x}}{4}-\sqrt[3]{x^3+7}\ge 0,\forall x\ge 0$
Và chú ý từ điều kiện thì $abc=1$ tương đương với $\ln{a}+\ln{b}+\ln{c}=0$

Mà Đức bớt spam hộ anh cái, chú toàn post mà chả ghi lời giải ra hộ anh, dù anh biết mấy bài này chú giải dễ thôi mà

[slbadguy]

Bài này nhìn cũng thú vị đấy nhưng mà không khó Chỉ cần đánh giá hàm:
$f(x)=2x-\dfrac{7\ln{x}}{4}-\sqrt[3]{x^3+7}\ge 0,\forall x\ge 0$
Và chú ý từ điều kiện thì $abc=1$ tương đương với $\ln{a}+\ln{b}+\ln{c}=0$

Mà Đức bớt spam hộ anh cái, chú toàn post mà chả ghi lời giải ra hộ anh, dù anh biết mấy bài này chú giải dễ thôi mà

Đánh giá thế này thì sao mà xét dấu đạo hàm.

[zaizai]

sao lại ko nhỉ? Đạo hàm có nghiệm bằng 1. Lấy giấy bút ra và thử trước khi post nhá

[slbadguy]

Nghiệm bằng 1 thì sao, quan trọng là có cm được cái bđt của cái đạo hàm để suy ra đ?#8220;ng biến nghịch biến không. Chứ vẽ hình bằng phần mềm thì ai chẳng làm được.

Xin lỗi vì post nhầm một lúc 2 hình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slbadguy: 30-04-2008 - 09:13

[duca1pbc]

@Vũ Hoàng: cái UCT kiểu đó của ông nhìn cù lần quá nhỉ,đánh giá $2a-\sqrt[3]{a^3+7} \ge x.lna$
Đưa về 1 hàm lấy đạo hàm tính f'(1)=0 là đc .Nói chung như rứa là ổn rồi

[zaizai]

vậy thì nhờ cu Đức chứng minh hộ cái hàm đó dương với nhỉ. Cũng đơn giản thôi mà còn vẽ đồ thị thì tui đâu có biết Mà đây cũng chỉ là 1 phần của UCT, riêng trò này thì xuất hiện từ đời tám hoánh bên Mathlink rồi. Nhưng mà muốn dùng nó cho hiệu quả thì không phải dễ đâu ông ạ. Nhiều cái nó đòi hỏi sự tinh tế nhiều lắm.
Thử bài sau biết liền:
Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{a^2+3}+\dfrac{b}{b^2+3}+\dfrac{c}{c^2+3}\le \dfrac{3}{4}$

[slbadguy]

Làm ơn giải cụ thể ra được không. Ước lượng kiểu này dùng trên máy là hợp.

[zaizai]

Do nghiệm đạo hàm bằng 1. Cái hàm $f(x)$ đó qua $1$ thì đổi dấu từ âm sang dương. Chỉ cần làm việc với cái tử thôi còn cái mẫu thì luôn dương rồi. Trục căn bậc 3 đi và do việc xác định k đã cho nghiệm x=1 trước rồi nên phân tích nó thành:

$f'(x)=(x-1)[(x-1)^4(64x^4+128x^3+168x^2+1175x+2467)+3(x-1)^2(1347x+463)+3(533x-485)]$

Dễ thấy qua 1 từ đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên $f(x)\ge f(1)=0$

[slbadguy]

Cảm ơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slbadguy: 30-04-2008 - 10:47

[zaizai]

Comment thêm về dạng này, thực ra thì những ví dụ kiểu trên rất may mắn là đã tìm ra được một cái hàm dương ngay từ đầu nên công đoạn tiếp theo thực chất chỉ cần chút khả năng tính toán. Bài tổng quát với n số cũng chỉ là đơn giản với n lần áp dụng ước lượng đó. Tuy nhiên nếu bao giờ ta cũng xét được hàm như thế thì chả phải kĩ thuật này quá mạnh hay sao? Rất tiếc là nó chả mạnh tới mức đó mà chỉ giúp ta làm việc với một số bài toán nho nhỏ thôi. Còn những bài mà xét hàm rồi nhưng hàm đó ko dương thực sự mà đơn điệu và đổi dấu trên nhiều khoảng thì kĩ thuật này chỉ còn có thể sử dụng cho bài ít biến chứ tổng quát là không thể. Ý tưởng của những bài mà biểu thức đơn lượng trên thì qui nạp tổng quát mới chính là con đường nên nghĩ tới. Bởi vì ta chỉ phải làm việc với trường hợp ít biến rồi qui nạp lên n biến. Để hiểu tại sao tôi nói vậy thì cứ giải thử bài thứ 2 tôi post ở trên. Bài đó với 3 biến chả là gì với p,q,r cả. Kĩ thuật này cũng xử lý được. Nhưng chỉ cần tổng quát lên n số thì lúc đó ta phải chuyển qua những phương pháp mạnh hơn...

[duca1pbc]

vậy thì nhờ cu Đức chứng minh hộ cái hàm đó dương với nhỉ. Cũng đơn giản thôi mà còn vẽ đồ thị thì tui đâu có biết Mà đây cũng chỉ là 1 phần của UCT, riêng trò này thì xuất hiện từ đời tám hoánh bên Mathlink rồi. Nhưng mà muốn dùng nó cho hiệu quả thì không phải dễ đâu ông ạ. Nhiều cái nó đòi hỏi sự tinh tế nhiều lắm.
Thử bài sau biết liền:
Cho $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{a^2+3}+\dfrac{b}{b^2+3}+\dfrac{c}{c^2+3}\le \dfrac{3}{4}$

tất nhiên trình độ tui bây h làm sao bằng ông đc.Cái uct đó tui nói cho vui rứa nếu ko đúng thì thôi,vì cũng có lấy giấy bút ra đâu
Bài này thì cũng thử kiểu đó.Nếu ko đúng thì thôi zậy

[zaizai]

Quan trọng là việc tìm k chưa giải quyết đc bài toán này. Vì cái bdt đó chỉ đúng trong 1 khoảng thôi còn 1 khoảng nhỏ nữa phải chia trường hợp mà xét nữa. Ông thử nghiêm túc làm xem. Dù sao thì đây cũng chả phải là bài khó, điều quan trọng là giải sao cho ngắn thôi còn 3 biến đối xứng mà lại ko căn thì giải kiểu gì chả ra. Ban đầu tui dùng p,q,r dài hơn nửa trang, nhưng dùng trò kia thì ngắn hơn và gọn hơn.