4 replies to this topic

[Lity124]

Cho $x;y \in[0;1] $.Tìm Max của biểu thức :$T=x \sqrt{y} -y \sqrt{x} $
Đầy là 1 đề thi đại học ( đề dự bị ) được " biến tướng " để trông có vẻ.......... " khó " hơn !

[H.Quân- ĐHV]

Cho $x;y \in[0;1] $.Tìm Max của biểu thức :$T= x \sqrt{y} -y \sqrt{x} $
Đầy là 1 đề thi đại học ( đề dự bị ) được " biến tướng " để trông có vẻ.......... " khó " hơn !

bài này cũng ko khó nhìn mấy

xét$ f(x) = x \sqrt{y} -y \sqrt{x} $ $f'(x) = \dfrac{ 2 \sqrt{xy} - y }{2 \sqrt{x} } $
dễ thấy $f(x) \le f(1) = \sqrt{y} - y $
xét $f(y) = \sqrt{y} - y $ $f'(y) = \dfrac{ 1 - 2\sqrt{y} }{2\sqrt{y} } $ $f(y) \le f( \dfrac{1}{4} ) $
vậy$ max M = \dfrac{1}{4} $

Edited by H.Quân- ĐHV, 28-04-2008 - 17:49.

[slbadguy]

$a = \sqrt x ,b = \sqrt y $

$T = a^2 b - ab^2 = ab(a - b) \le \dfrac{1}{4}a^2 2b(2a - 2b) \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{{a + a + 2b + 2a - 2b}}{4})^4 \le \dfrac{1}{4}a^4 \le \dfrac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 1,y = \dfrac{1}{4}$

[Lity124]

$a = \sqrt x ,b = \sqrt y $

$T = a^2 b - ab^2 = ab(a - b) \le \dfrac{1}{4}a^2 2b(2a - 2b) \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{{a + a + 2b + 2a - 2b}}{4})^4 \le \dfrac{1}{4}a^4 \le \dfrac{1}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $x = 1,y = \dfrac{1}{4}$

Hình như ngược dấu ở phép đánh giá đầu ! Bài này có thể giải như sau :$T= \dfrac{1}{4}x+y \sqrt{x}( \sqrt{x}-1)- \sqrt{y}-1)^2 \leq \dfrac{1}{4} $

[y chi]

T=$\sqrt{xy} ( \sqrt{x}- \sqrt{y}) \leq\sqrt{y} (1- \sqrt{y} )\leq \dfrac{1}{4} $