BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R
Võ Thành Văn
Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế
*LỜI MỞ ĐẦU:
Như các bạn đã biết,bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và có nhiều ứng dụng,tuy nhiên nó vẫn còn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT.Qua bài viết này,tôi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật để sử dụng tốt BDT Schur,đó là kết hợp với phương pháp đổi biến $p,q,r$.
Trước hết tôi xin nhắc lại về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến $p,q,r$.
I-BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR:
Với các số thực dương a,b,c và $k\in R^+$ bất kì ta luôn có
$a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)\geq 0$
Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2:
$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0 (i)$
$a^2(a-b)(a-c)+b^2(b-c)(b-a)+c^2(c-a)(c-b)\geq 0 (ii)$
II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R:
Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng có các biến không âm thì ta có thể đổi biến lại như sau:
Đặt $p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$
Ta có một số đẳng thức sau:
.$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=pq-3r$
$.(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r$
$.ab(a^2+b^2)+bc^(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)=p^2q-2q^2-pr$
$.(a+b)(a+c)+(b+c)(b+a)+(c+a)(c+b)=p^2+q$
$.a^2+b^2+c^2=p^2-2q$
$.a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r$
$.a^4+b^4+c^4=p^4-4p^2q+2q^2+4pr$
$.a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2pr$
$.a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=q^3-3pqr+3r^2$
$.a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4=q^4-4pq^2r+2p^2r^2+4qr^2$
Đặt $L=p^2q^2+18pqr-27r^2-4q^3-4p^3r$
Khi đó $a^2b+b^2c+c^2a=\dfrac{pq-3r+/- \sqrt{L}}{2}$
$(a-b)(b-c)(c-a)=\sqrt{L}$
Có thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các biến p,q,r mà các biến a,b,c ban đầu không có như:
$.p^2\geq 3q$
$.p^3\geq 27r$
$.q^2\geq 3pr$
$.pq\geq 9r$
$.2p^3+9r\geq 7pq$
$.p^2q+3pr\geq 4q^2$
$.p^4+4q^2+6pr\geq 5p^2q$
Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ,các bạn có thể phát triển thêm nhiều đẳng thức,bất đẳng thức liên hệ giữa 3 biến p,q,r.Và điều quan trọng mà tôi muốn nói đến là từ bất đẳng thức $(i)$ và $(ii)$,ta có:
$r\geq \dfrac{p(4q-p^2)}{9}$ (từ $(i)$)
$r\geq \dfrac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}$ (từ $(ii)$)
Tuy nhiên trong một số trường hợp thì có thể các đại lượng $4q-p^2$ có thể nhận giá trị âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng
$.r \ge \max \left( 0,\dfrac {p(4q-p^2)}{4}\right )$
$.r \ge \max \left( 0,\dfrac {(4q - p^2)(p^2 - q)}{6p}\right )$
Có lẽ đến đây các bạn đã hiểu được phần nào về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r.Sau đây là một số ví dụ minh họa,nhưng trước hết,các bạn hãy tập làm thử rồi xem đáp án sau:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 13-09-2012 - 14:35