2 replies to this topic

[mai quoc thang]

Một bài quen thuộc ... hay và không khó lắm ...
Cho $\ a,b,c>0$ và $\ a+b+c=1 $ .
Chứng minh : $\dfrac{\sqrt{a^2+abc}}{c+ab}+\dfrac{\sqrt{b^2+abc}}{a+bc}+\dfrac{\sqrt{c^2+abc}}{b+ca}\leq\dfrac{1}{2\sqrt{abc}}$

[slbadguy]

Đặt $a = \dfrac{1}{x},b = \dfrac{1}{y},c = \dfrac{1}{z} \Rightarrow xy + yz + zx = xyz$

BĐT tương đương với
$\sum\limits_{sym} {\sqrt {\dfrac{{yz}}{{x + yz}}} } \le \dfrac{{\sqrt {xyz} }}{2} \Leftrightarrow \sum\limits_{sym} {\dfrac{2}{{\sqrt {x^2 + xyz} }}} \le 1 \Leftrightarrow \sum\limits_{sym} {\dfrac{2}{{\sqrt {(x + y)(x + z)} }}} \le 1$

Mà
$\sum\limits_{sym} {\dfrac{2}{{\sqrt {(x + y)(x + z)} }}} \le \sum\limits_{sym} {(\dfrac{1}{{x + y}} + \dfrac{1}{{x + z}})} \le \sum\limits_{sym} {(\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) + \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{z}))} = 1$

Suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$.

Edited by slbadguy, 06-08-2008 - 11:13.

[slbadguy]

Cho $a,b,c>0$ và $\dfrac{4a}{a+1}+\dfrac{2b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^4}{c^4+1}=1$.
Cmr : $abc \le (\dfrac{1}{6})^{\dfrac{7}{4}}$

Sắp ra SG r?#8220;i, tranh thủ post lời giải luôn.
Đặt $x = \dfrac{a}{{a + 1}},y = \dfrac{{b^2 }}{{b^2 + 1}},z = \dfrac{{c^4 }}{{c^4 + 1}}$

Ta có $4x + 2y + z = 1$

Bất đẳng thức tương đương với
$(\dfrac{x}{{1 - x}})^4 (\dfrac{y}{{1 - y}})^2 \dfrac{z}{{1 - z}} \le \dfrac{1}{{6^7 }} \Leftrightarrow 6^7 x^4 y^2 z \le (1 - x)^4 (1 - y)^2 (1 - z)$

Mà
$(1 - x)^4 = (3x + 2y + z)^4 \ge (6\sqrt[6]{{x^3 y^2 z}})^4 $
$(1 - y)^2 = (4x + y + z)^2 \ge (6\sqrt[6]{{x^4 yz}})^2 $
$1 - z = 4x + 2y \ge 6\sqrt[6]{{x^4 y^2 }}$
Nhân lại ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a = \dfrac{1}{6},b = \dfrac{1}{{\sqrt 6 }},c = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{6}}}$

Edited by slbadguy, 06-08-2008 - 11:12.