Chủ đề này có 5 trả lời

[DinhCuongTk14]

Bài 2

a.Cho $x,y,z$ là các số thực khác 1 thỏa mãn $xyz=1$
Cmr :
$\dfrac {x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \dfrac {y^{2}}{\left(y - 1\right)^{2}} + \dfrac {z^{2}}{\left(z - 1\right)^{2}} \geq$ 1
b.Chứng minh đẳng thức trên đúng với vô hạn bộ 3 số hửu tỷ $(x,y,z) $

[tanlsth]

Đặt $a=\dfrac{x}{x-1},b=\dfrac{y}{y-1},c=\dfrac{z}{z-1}$ suy ra $x=\dfrac{a}{a-1},y=\dfrac{b}{b-1},z=\dfrac{c}{c-1}$

Thay vào giả thiết suy ra $a+b+c=ab+bc+ca+1 \to \sum a^2+2\sum a =(\sum a)^2+2 \to \sum a^2=(\sum a-1)^2+1 \geq 1$

Suy ra điều phải chứng minh

Để chứng minh ý sau ta chỉ cần chỉ ra tồn tại vô hạn bộ $a,b,c$ hữu tỉ sao cho $a+b+c=1$ và $ab+bc+ca=0$.Chú ý là $a,b,c \neq 1$

Thật vậy, thế $c$ vào ta có $a^2+(b-1)a+b^2-b=0$

Chọn $b=\dfrac{m}{n}$ với $m=\dfrac{x^2-y^2}{4}, n=\dfrac{x2+3y^2}{4}, x,y \no \vdots 2, x>y \in N*$

Dễ thấy phương trình có nghiệm hữu tỉ thỏa mãn bài toán.

[H.Quân- ĐHV]

ta đặt $x =\dfrac{a}{b} , y= \dfrac{b}{c} , z = \dfrac{c}{a}.$
$P = \sum \dfrac{a^2}{(a-b)^2} \ge 1 $
(a,b,c) là no thì (ka,kb,kc) cũng là n0 nên có thể gá$n c=1 $ ,đặt $m=b-1 , n = a-1$.
$P' = \dfrac{1}{n^2} + \dfrac{(m+1)^2}{m^2} + \dfrac{(n+1)^2}{(m-n)^2} \ge 1 $
$(m^2+n^2 - mn + nm^2)^2 \ge 0 $
b, dấu = khi $m = \dfrac{k^2+4+2k}{2} , n = \dfrac{4-k^2}{2k} $ thay vào có $x,y,z $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi H.Quân- ĐHV: 17-07-2008 - 07:27

[Allnames]

Theo em thì ta đặt $a=\dfrac{1}{x}$,thế vào BĐT cần cm ta cần cm
$\sum(1-a)^2(1-b)^2\geq\ [(1-a)(1-b)(1-c)]^2$
biến đổi tương đương đưa về $(a+b+c-3)^2\geq\ 0$,dấu bằng thì ta giải hệ là được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Allnames: 17-07-2008 - 14:57

[KhùngLãoQuái]

Cách giải bằng cauchy-schwarz nhanh hơn 1 xíu
Đặt $x=\dfrac{a}{b};y=\dfrac{b}{c};z=\dfrac{c}{a}$
$\sum \dfrac{a^2}{(a-b)^2} \ge \dfrac{ (\sum a^2-\sum ab)^2}{\sum (a-b)^2(a-c)^2 } =1$

[vuthanhtu_hd]

Ở đây cũng có một cách khá gọn của Harry:
http://diendantoanho...showtopic=40901

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 12-09-2008 - 22:35