Chủ đề này có 1 trả lời

[ngoduclong]

Bài này em đọc trong 1 quyển sách khá hay nhưng chưa giải đuợc

Chứng minh rằng trong một đa diện lồi luôn tồn tại ít nhất 1 đỉnh là đỉnh của một góc tam diện hoặc ít nhất một mặt là tam giác

[tanlsth]

Trước tiên ta nhắc lại định lí Ơle cho đa diện C+2=Đ+M (Đ: số đỉnh,M: số mặt,C: số cạnh)
Phản chứng

Gọi $v_4,v_5,..,v_p$ là số các đỉnh có bậc là $4,5...,p$

Gọi $m_4,m_5,.. ,m_k$ là số các mặt có số cạnh là $4,5..,k$

Khi đó số các cạnh là $\dfrac{1}{2}\sum_{p \geq i \geq 4} iv_i=\dfrac{1}{2}\sum_{k \geq j \geq 4}jm_j$

Suy ra Đ+M$= \sum m_i + \sum v_i $

C+2 $=\dfrac{1}{2}\sum_{p \geq i \geq 4} iv_i+2=\dfrac{1}{2}\sum_{k \geq j \geq 4}jm_j+2=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}\sum_{p \geq i \geq 4} iv_i+\dfrac{1}{2}\sum_{k \geq j \geq 4}jm_j+4)=\dfrac{1}{4}\sum_{p \geq i \geq 4} iv_i+\dfrac{1}{4}\sum_{k \geq j \geq 4}jm_j+2 \geq \sum v_i +\sum m_i +2 >\sum m_i +\sum v_i =$ Đ+M

Vô lí
Vậy ta có điều phải chứng minh.