Chủ đề này có 2 trả lời

[DinhCuongTk14]

Cho $f(x)$ là hàm liên tục khả vi trên$ [0;1]$ và thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1} f(x)dx=0$.
Cmr : $\exist c\in (0;1)$ sao cho $\int\limits_{0}^{c} xf(x)dx=0$

[tanlsth]

Đặt $F(x)= \int\limits_{0}^{x} f(t)dt$

Suy ra $F(1)=F(0)=0$

Và $G(m)=\int\limits_{0}^{m} xf(x)dx= \int\limits_{0}^{m} xd(F(x))= mF(m)- \int\limits_{0}^{m} F(x)dx$

Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh tồn tại $m$ sao cho $mF(m)= \int\limits_{0}^{m} F(x)dx$

Thật vậy, ta xét 2 trường hợp

Nếu $F(x)$ nhận cả giá trị âm và dương trên $[0,1]$ thì đặt $F(p)=\min F(x) <0, F(q)=\max F(x)>0$ suy ra

$G(p)=pF(p)- \int\limits_{0}^{p} F(x)dx \leq 0$

$G(q)=qF(q)- \int\limits_{0}^{q} F(x)dx \geq 0$

Suy ra tồn tại giá trị $m$ để $G(m)=0$ và ta có điều phải chứng minh

Nếu $F(x)$ không đổi dấu, không mất tính tổng quát giả sử $F(x) \geq 0$ suy ra tồn tại $\max F(x)=F(k)>0$ ( ở đây ta chỉ xét khi hàm $F$ không là hàm hằng 0)

Suy ra $G(k)=kF(k)- \int\limits_{0}^{k} F(x)dx \geq 0$

$G(1)=- \int\limits_{0}^{1} F(x)dx <0$ nên suy ra tồn tại $m$ để $G(m)=0$

Bài toán được chứng minh

[FOOL90]

Anh Tân : Em nghĩ chỉ cần thề này là đủ:

<chỉnh sửa lời giải của Tanlsth >

Đặt $F(x)= \int\limits_{0}^{x} f(t)dt$

Suy ra $F(1)=F(0)=0$

Và $G(m)=\int\limits_{0}^{m} xf(x)dx= \int\limits_{0}^{m} xd(F(x))= mF(m)- \int\limits_{0}^{m} F(x)dx$

Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh tồn tại $m$ sao cho $mF(m)= \int\limits_{0}^{m} F(x)dx$

Chọn $F(p)=\min F(x) , F(q)=\max F(x) $ suy ra

$G(p)=pF(p)- \int\limits_{0}^{p} F(x)dx \leq 0$ vì $pF(p) = \int\limits_{0}^{p} F(p)dx \leq \int\limits_{0}^{p} F(x)dx$

$G(q)=qF(q)- \int\limits_{0}^{q} F(x)dx \geq 0$ vì $qF(q) =\int\limits_{0}^{q} F(q)dx \geq \int\limits_{0}^{q} F(x)dx$

Suy ra tồn tại giá trị $m$ để $G(m)=0$ và ta có điều phải chứng minh