Chủ đề này có 6 trả lời

[DinhCuongTk14]

Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục tại mọi giá trị $ x \geq 0$ và $ f(x) \geq 0$ thỏa mãn :
$ f(x)\leq k \int\limits_{0}^{x} f(t)dt \forall x\geq 0$ trong đó $k$ là 1 hằng số dương.
Cmr :$f(x)=0 \forall x\geq 0$

[tanlsth]

Đề này không đúng rồi.Mình nghĩ là đề phải là $f(x) \geq 0$ mới đúng

Phản ví dụ có thể chọn hàm $f(x)=-(e^x+xe^x), k=\dfrac{1}{2}$

Khi đó $k.\int\limits_{0}^{x} f(t)dt=-kxe^x =\dfrac{-xe^x}{2} > -(e^x+xe^x)$

Khi đề bài được chuyển lại ta có rất nhiều cách giải quyết.Đợi mọi người check lại mình sẽ đưa lên sau

[DinhCuongTk14]

Hì đề này tớ lấy từ tập đề cậu up cho tớ đó quên thanks cậu 1 cái chắc Hiệp gõ nhầm chỗ này ^^
bài này là 1 dạng quen thuộc lắm rồi
Xét $F(x)=e^{-kx} \int\limits_{0}^{x}f(t)dt$
Ta có : $F'(x)=e^{-kx}(f(x) -k \int\limits_{0}^{x} f(t)dt)$
$F'(x) \leq 0$ nên hàm $F(x)$ nghịch biến trên $ (0;+\infty)$
$F(0)=0 $nên$ F(x) \leq 0 \forall x\in R$
Do $f(x) \geq 0$ nên $ \int\limits_{0}^{x} f(t)dt \geq 0$
Kết luận $f(x)=0$

Check hộ t bài này nhé ^^ lâu rồi kô đả động mấy bài kiểu này nữa

[tanlsth]

Đúng rồi .Mà sao đề trong đó nó lại đi gợi ý nữa chứ.

Mình còn 2 cách sau nữa,chủ yếu là thủ thuật đánh giá thôi

Cách 1: Đặt $F(x)= \int\limits_{0}^{x} f(t)dt$ suy ra $F'(x) \leq kF(x)$ và $F(0)=0, F(x) \geq 0 \forall x \geq 0$

Ta sẽ chứng minh $F(x)=0$ với mọi $x \in [0,m]$ với $m>0$

Thật vậy

Nếu tồn tại $x_0 \in [0,m]$ sao cho $F(x_0) >0$ thì đặt $E=\{x \in [0,x_0] : F(x)=0\}$ suy ra $E \neq \phi$ vì $0 \in E$

Đặt $x_1=\sup E$ suy ra do tính liên tục của $F$ thì $F(x_1)=0$ và $F(x)>0 \forall x \in (x_1,x_0]$

Xét $G(x)=\ln F(x)$ suy ra $|G(x)-G(x_0)|=|G'(p)||x-x_0| \leq k|x-x_0|$

mà $\lim_{x \to x_1^{+}}|G(x)-G(x_0)|=+\infty$ nên suy ra vô lí.

Vậy $F(x)=0$ suy ra $f(x)=0$

[tanlsth]

Cách 2

Cũng đặt như cách 1 thì ta sẽ chứng minh $F(t)=0$ với mọi $t\in [0,\dfrac{1}{k})$.Từ đó ta cứ tăng độ dài $\dfrac{1}{k}$ của các đoạn để chứng minh nó bằng 0 trên toàn bộ $[0,+\infty)$

Xét trên $[0,\dfrac{1}{k})$ thì tồn tại $\max_{x\in [0,\dfrac{1}{k})} F(x)=F(m)$

Suy ra $F(m)=F(m)-F(0)=F'(t).m \leq mkF(t) \leq mkF(m)$

Vì $mk<1$ nên suy ra $F(m)=0$ suy ra $F(x)=0 \forall x \in [0,\dfrac{1}{k})$

Tương tự như vậy ta có điều phải chứng minh

[tanlsth]

Bài toán tổng quát cho bài này và cách giải tương tự như 2 cách ở trên

Cho $f(x)$ khả vi trên $[a,b]$ thỏa mãn $f(a)=0$ và tồn tại $A>0, \alpha \geq 1$ sao cho $|f'(x)| \leq A|f(x)|^{\alpha} \forall x \in [a,b]$

Chứng minh $f(x)=0,\forall x\in [a,b]$

[tanlsth]

Bài toán cũng có thể biến đổi chút đi như sau

Cho $f(x)$ khả vi trên $[a,b]$ thỏa mãn $f(a)=0$ và tồn tại $A>0, \alpha \geq 1$ sao cho $|f'(x)| \leq Asin^2(f(x)) \forall x \in [a,b]$

Chứng minh $f(x)=0,\forall x\in [a,b]$