Chủ đề này có 2 trả lời

[DinhCuongTk14]

Cho hàm số $f(x)$ liên tục,đơn điệu giảm trên $ [0;b]$ và $a\in [0;b]$
Cmr :
$ b\int\limits_{0}^{a}f(x)dx \geq a \int\limits_{0}^{b} f(x)dx$

[tanlsth]

Nếu $a=0 $thì ta có điều phải chứng minh
Xét $a>0$, xét hàm $F(x)=\dfrac{\int\limits_{0}^{x} f(t)dt}{x}, x \in (a,b]$

Có $F'(x)=\dfrac{xf(x)-\int\limits_{0}^{x} f(t)dt}{x^2}$

Vì hàm $f(x)$ giảm nên ta có $F'(x) \leq 0$ suy ra $F(x)$ nghịch biến hay $F(a) \geq F(b)$ suy ra đpcm

[FOOL90]

Lời giải
Bài toán tương đuơng với $(b-a). \int\limits_{0}^{a} f(x) .dx \geq a \int\limits_{a}^{b} f(x) dx$
điều đó đúng vì
$(b-a). \int\limits_{0}^{a} f(x) .dx \geq (b-a) . \int\limits_{0}^{a} f(a)dx = (b-a).a. f(a) = a.\int\limits_{a}^{b} f(a)dx \geq a \int\limits_{a}^{b} f(x)dx$
dpcm.\