Chủ đề này có 1 trả lời

[shockmath_xayda]

Chứng minh rằng $\forall n \geq p,p \in P $
$C^{p+1}_{n+1} \equiv n+1+[\dfrac{1}{p} ]+[\dfrac{2}{p} ]+...+[\dfrac{n-p}{p} ] (modp)$

[DinhCuongTk14]

Mình thử theo hướng này bạn xem được kô nhé ^^ vì lâu cũng kô học lại mấy cái này rồi

Trước hết ta có 1 bổ đề quen thuộc :

Với $p \in P$ $p$ lẻ thì :
${n \choose p} \equiv [\dfrac{n}{p}] (mod p)$

Bổ đề này chứng minh được theo nhiều cách .Mọi người thử xem nhé
Vào bài luôn :
Đặt $n=kp+x;0\leq x \leq p-1 $
Ta có ${n+1 \choose p+1}=\dfrac{n+1}{p+1} {n \choose p} \equiv \dfrac{n+1}{p+1}k (mod p) $

Biến đổi 1 chút :
đpcm $ \Leftrightarrow \dfrac{n+1}{p+1}{n \choose p} \equiv n+1+[\dfrac{(k-1)p}{p}]+..+[\dfrac{(k-1)p+x}{p}] \equiv n+1+(k-1)(x+1) (mod p) \equiv k(x+1) (mod p)$

$ \Leftrightarrow \dfrac{n+1}{p+1}k \equiv k(x+1) (mod p) $
$\Leftrightarrow ( kp+x+1)k \equiv k(x+1)$

Done