Cho$ f\in C([0,1]) $. Cmr : $\exist c\in(0,1)$ thỏa mãn $\int_{0}^{c}f(x)dx = (1 - c)f( c ).$
1 bài tồn tại típ
Bắt đầu bởi DinhCuongTk14, 26-08-2008 - 16:29
#2
Đã gửi 26-08-2008 - 17:29
tanlsth
-
- Hiệp sỹ
-
- 1428 Bài viết
Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán
Xét hàm $F(x)=(1-x) \int\limits_{0}^{x} f(t)dt$ trên $[0,1]$
Suy ra hàm $F(x)$ khả vi trên $[0,1], F'(x)=(1-x)f(x)- \int\limits_{0}^{x} f(t)dt$ và $F(0)=F(1)=0$ nên theo định lí Rolle tồn tại $m \in (0,1)$ sao cho $F'(m)=0$
hay $\int\limits_{0}^{m} f(t)dt =(1-m)f(m)$
Bài toán được chứng minh
Suy ra hàm $F(x)$ khả vi trên $[0,1], F'(x)=(1-x)f(x)- \int\limits_{0}^{x} f(t)dt$ và $F(0)=F(1)=0$ nên theo định lí Rolle tồn tại $m \in (0,1)$ sao cho $F'(m)=0$
hay $\int\limits_{0}^{m} f(t)dt =(1-m)f(m)$
Bài toán được chứng minh
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
#3
Đã gửi 26-08-2008 - 17:45
FOOL90
-
- Thành viên
-
- 628 Bài viết
Thiếu úy
Tổng quát : $f,g \in C([a,b])$ . Chứng minh tồn tại $m \in (a,b)$ sao cho
$f(m) . \int\limits_{a}^{m}g(x)dx = g(m) . \int\limits_{m}^{b} .f(x) dx$
Chứng minh.
Xét $P(x) = \int\limits_{a}^{t}g(x)dx\int\limits_{t}^{b}g(x)dx$
$P(a)=P(b) =0$ nên theo định lí Rolle ,tồn tại $P'(m) =0$
$\Leftrightarrow f(m) . \int\limits_{a}^{m}g(x)dx = g(m) . \int\limits_{m}^{b} .f(x) dx$
Áp dụng với $f(x)$ và $g \equiv 1$ . Ta có bài toán của dinhcuongtk14.
$f(m) . \int\limits_{a}^{m}g(x)dx = g(m) . \int\limits_{m}^{b} .f(x) dx$
Chứng minh.
Xét $P(x) = \int\limits_{a}^{t}g(x)dx\int\limits_{t}^{b}g(x)dx$
$P(a)=P(b) =0$ nên theo định lí Rolle ,tồn tại $P'(m) =0$
$\Leftrightarrow f(m) . \int\limits_{a}^{m}g(x)dx = g(m) . \int\limits_{m}^{b} .f(x) dx$
Áp dụng với $f(x)$ và $g \equiv 1$ . Ta có bài toán của dinhcuongtk14.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 26-08-2008 - 17:47
Take it easy
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
