Chủ đề này có 3 trả lời

[kiemkhachvotinh]

Cho hàm số $g(x)$ có $g"(x)>0$với mọi $x$ . Giả sử hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn $f(0)>g(0) ;\int_0^{\pi}f(x)dx<g(0)\pi+g'(0)\dfrac{\pi}{2}. $Chứng minh rằng tồn tại $c $thuộc đoạn [$0;\pi]$sao cho $f( c )=g( c )$

[tanlsth]

Toàn bài thi OLP sinh viên năm vừa rồi cả .Bài này cũng dễ nốt.
Khai triển Taylor hoặc sử dụng Lagrange là đủ để ra

[kiemkhachvotinh]

Anh tanlsth nói kĩ hơn được KO ạ

[tanlsth]

Nếu tồn tại $m$ sao cho $f(m)<g(m)$ thì ta có điều phải chứng mình theo tính chất hàm liên tục

Do thế ta sẽ có $f(x)>g(x)$ với mọi $x \in R$

Khai triển Taylor $g(x)=g(0)+g'(0)x+g^{"}(d)\dfrac{x^2}{2} > g(0)+g'(0)x$

Tích phân lên ta có $ \int\limits_{0}^{\pi} g(x)dx > g(0).\pi + g'(0)\dfrac{\pi^2}{2}$

Lại có $\int\limits_{0}^{\pi} g(x)dx < \int\limits_{0}^{\pi} f(x)dx$ nên vô lý

Vậy ta có điều phải chứng minh

Có thể chứng minh $g(x)> g(0)+g'(0)x $ bằng cách sử dụng Lagrange như sau

Với $x>0$ thì $g^{"}(x)>0$ nên hàm $g'(x)$ đồng biến nên $g'(x)>g'(0)$ với mọi $x>0$

Suy ra với $x>0$ thì $\dfrac{g(x)-g(0)}{x}=g'(p)>g'(0)$ suy ra điều phải chứng minh