1.$f(0)=f'(0)=1 $
2.$f"(x)\ge 0$ với $x\in (0;1) $
3.$\int _0^1f(x)dx=\dfrac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kiemkhachvotinh: 03-09-2008 - 07:39
Tìm hàm
Bắt đầu bởi kiemkhachvotinh, 03-09-2008 - 07:38
#1
Đã gửi 03-09-2008 - 07:38
kiemkhachvotinh
-
- Thành viên
-
- 51 Bài viết
Hạ sĩ
Tìm hàm $f(x)\in C^2[0;1]$ thỏa mãn các điều kiện
1.$f(0)=f'(0)=1 $
2.$f"(x)\ge 0$ với $x\in (0;1) $
3.$\int _0^1f(x)dx=\dfrac{3}{2}$
1.$f(0)=f'(0)=1 $
2.$f"(x)\ge 0$ với $x\in (0;1) $
3.$\int _0^1f(x)dx=\dfrac{3}{2}$
chủ nhiệm
luan
#2
Đã gửi 03-09-2008 - 10:00
FOOL90
-
- Thành viên
-
- 628 Bài viết
Thiếu úy
Lời giải
NX:$ f(x) \geq (x+1) \forall x \in [0,1]$
CM
Xét $g(x) = f(x)- (x+1)$ ;
$ g'(x) = f'(x) - 1$
$g"(x) = f"(x) \geq 0$
nên $g'(x)$ tăng trên $[0,1]$ , mà $g'(0)=0$ nên $g'(x) \geq 0 \ \ \forall x \in [0,1]$
do vậy $g(x)$ tăng trên $[0,1]$ mà$ g(0)=0$ nên $g(x) \geq 0 \ \ \forall x \in [0,1]$ do vậy $f(x) \geq (x+1) \forall x \in [0,1]$
Nên $\int\limits_{0}^{1} f(x)dx \geq \int\limits_{0}^{1} (x+1)dx = \dfrac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $f(x)=x+1$ .Do vậy theo$ iii)$ ta có $f(x) =x+1 \forall x\in [0,1]$
NX:$ f(x) \geq (x+1) \forall x \in [0,1]$
CM
Xét $g(x) = f(x)- (x+1)$ ;
$ g'(x) = f'(x) - 1$
$g"(x) = f"(x) \geq 0$
nên $g'(x)$ tăng trên $[0,1]$ , mà $g'(0)=0$ nên $g'(x) \geq 0 \ \ \forall x \in [0,1]$
do vậy $g(x)$ tăng trên $[0,1]$ mà$ g(0)=0$ nên $g(x) \geq 0 \ \ \forall x \in [0,1]$ do vậy $f(x) \geq (x+1) \forall x \in [0,1]$
Nên $\int\limits_{0}^{1} f(x)dx \geq \int\limits_{0}^{1} (x+1)dx = \dfrac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $f(x)=x+1$ .Do vậy theo$ iii)$ ta có $f(x) =x+1 \forall x\in [0,1]$
Take it easy
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
