Cách giải của anh với bài này như sau :
Biểu diễn :$n=2^m.p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$
Do đó hàm tổng các ước $\sigma(n)=(2^{m+1}-1) \dfrac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1} ... \dfrac{p_m^{k_m+1}-1}{p_1-1}=2^{m+1}p_1^{k_1}..p_m^{k_m}+1 $ là số lẻ
1.Ta chứng minh$ k_i$ đều chẵn
Nếu tồn tại $k_i$ lẻ thì $ k_i+1$ chẵn đương nhiên
$\dfrac{p_i^{k_i+1}-1}{p_i-1} $ chẵn .nên $\sigma(n)$ chẵn trái với giả thiết .
Từ đây ta có được $2^{m+1}a^2 \equiv -1 (mod 2^{m+1}-1)$
$\Leftrightarrow a^2 \equiv -1 (mod 2^{m+1}-1) \Leftrightarrow $ -1 là số chính phương mod $p ( \forall p|2^{m+1}-1)$
Nếu m lẻ thì $3|2^{m+1}-1 $ mà $-1$ kô phải số chính phương mod 3 nên m phải chẵn
Do đó n phải là số chính phương.
2.Ta chứng minh n lẻ.....
Giả sử $m>0$ thì $2^{m+1}-1$ có dạng 4k+3
do đó nó phải tồn tại 1 ước nguyên tố p dạng $4k+3$(chứng minh cái này đơn giản nhỉ
)
(-1) không phải số chính phương mod p với p=4k+3
vô lí
vậy m=0
nên n lẻ
Vậy n chính phương và lẻ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gadget: 21-09-2008 - 11:06