Chủ đề này có 4 trả lời

[supermember]

Bài toán :

Cho số nguyên dương $n$ thỏa mãn :

Tổng tất cả các ước số nguyên dương của $n$ bằng $2n \ + \ 1$

Chứng minh rằng :

$n$ là $1$ số chính phương lẻ

$1$ ngày không có em

[gadget]

Bài này kô ai giải à
Mình mới chứng minh được mỗi phần n là số chính phương còn n lẻ thì... ???

[Mashimaru]

Các anh ơi, liệu có số nào như thế ko ạ???

Với đoạn code này:

program prime;
uses crt;
var i,n:longint;
function sigma(n:longint):longint;
var i,k:integer;
begin
k:=0;
for i:=1 to n do
if (n mod i = 0) then k:=k+i;
sigma:=k;
end;
begin
clrscr;
writeln('n='); readln(n);
for i:=1 to n do
if (sigma(i)=2*i+1) then writeln(i);
readln;
end.

Em kiểm tra được là đến $n=10^9$ thì vẫn không có số nào thỏa điều kiện ấy hết ạ!

[gadget]

Cách giải của anh với bài này như sau :
Biểu diễn :$n=2^m.p_1^{k_1}...p_m^{k_m}$
Do đó hàm tổng các ước $\sigma(n)=(2^{m+1}-1) \dfrac{p_1^{k_1+1}-1}{p_1-1} ... \dfrac{p_m^{k_m+1}-1}{p_1-1}=2^{m+1}p_1^{k_1}..p_m^{k_m}+1 $ là số lẻ
1.Ta chứng minh$ k_i$ đều chẵn
Nếu tồn tại $k_i$ lẻ thì $ k_i+1$ chẵn đương nhiên
$\dfrac{p_i^{k_i+1}-1}{p_i-1} $ chẵn .nên $\sigma(n)$ chẵn trái với giả thiết .
Từ đây ta có được $2^{m+1}a^2 \equiv -1 (mod 2^{m+1}-1)$
$\Leftrightarrow a^2 \equiv -1 (mod 2^{m+1}-1) \Leftrightarrow $ -1 là số chính phương mod $p ( \forall p|2^{m+1}-1)$
Nếu m lẻ thì $3|2^{m+1}-1 $ mà $-1$ kô phải số chính phương mod 3 nên m phải chẵn
Do đó n phải là số chính phương.
2.Ta chứng minh n lẻ.....
Giả sử $m>0$ thì $2^{m+1}-1$ có dạng 4k+3
do đó nó phải tồn tại 1 ước nguyên tố p dạng $4k+3$(chứng minh cái này đơn giản nhỉ )
(-1) không phải số chính phương mod p với p=4k+3
vô lí
vậy m=0
nên n lẻ
Vậy n chính phương và lẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gadget: 21-09-2008 - 11:06

[Mashimaru]

Vâng, cách giải của em cũng giống anh đấy ạ. Nhưng vấn đề là liệu có tồn tại số nào thỏa điều kiện đề bài đưa ra ko??? Em nghĩ rằng nếu ko có số nào như vậy thì chẳng lẽ những gì chúng ta đang chứng minh có khi nào là vô ích sao ạ???