ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN LỚP 12
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
Các bạn download file nhé!
Nguồn: http://maths4vn.net
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN LỚP 12
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
Nguồn: http://maths4vn.net
_[ Nguyen Thang LS - Mute Fighter ]_
Bài dãy số thì cũ rồi nhưng cũng khá hay
Chuyển phương trình về dạng : $f(x) \ = \ x^{2n+1} \ - \ x \ - \ 1 \ = \ 0$
Ta có $f(x)$ là hàm sơ cấp xác định trên $R$ nên liên tục trên $R$
mà $f(1) \ = \ -1 < 0$ và $\lim_{x \ \to \ + \infty}^{} f(x) \ = \ \ + \infty $
nên phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm trên $(1 \ , \ + \infty \)$
$f'(x) \ = \ (2n+1)x^{2n} \ - \ 1 > 0$ với $x \ \geq \ 1$
$ \Rightarrow f(x)$ là hàm đơn điệu tặng trên $[1 \ , \ + \infty \)$
$ \Rightarrow $ phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm duy nhất $x_n$ trên $(1 \ , \ \infty \)$
$ *$ với $0 \ \leq \ x \ < 1$ hay $x \ \leq \ -1$thì $x^{2n +1} \ -\ x \ = \ x \( x^{2n} \ - \ 1 \) \ \leq \ 0 $
$ \Rightarrow f(x) \ < \ 0$
$*$ với $-1 <x < 0$ thì $x \(x^{2n} -1 \) = \| x \(x^{2n} -1 \) \| = |x \( 1 \ - \ x^{2n} \)| \ < \ |x| \ < \ 1 \Rightarrow f(x) \ < \ 0 $
nên phương tình vô nghiệm trên $\( - \infty \ , \ 1 ]$
$ \Rightarrow $ phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm duy nhất $x_n \forall n \in N^{*}$
Ta có $x^{2n+1}_n \ = \ x_n \ + \ 1$
$ \Rightarrow x_n \ = \ \sqrt[2n+1]{x_n +1 } $
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy $ cho $2n +1 $ số dương ta có
$ \sqrt[2n+1]{x_n +1 } \ = \ \sqrt[2n+1]{\( x_n +1 \) 1...1} \ < \ \dfrac{x_n \ + \ 1 \ + \ 2n }{2n +1}$
$ \Rightarrow x_n < \dfrac{x_n}{2n+1} \ + \ 1$
$ \Rightarrow x_n \ < \ \dfrac{2n+1}{2n} $
Ta thu được bất đẳng thức kép : $1 \ < \ x_n \ < \dfrac{2n+1}{2n}$
Mà $\lim_{n \to \ + \infty} 1 \ = \ \lim_{n \to \ + \infty} \dfrac{2n +1}{2n} \ = \ 1 $
Nên theo định lý "giới hạn kẹp " ta có
$\lim_{n \to \ + \infty} x_n \ = \ 1 $
Edited by supermember, 14-11-2008 - 11:46.
Công nhận bài này tuy cũ (đây là lần đầu đc xem) nhưng em thấy nó rất hay, anh có bài nào tương tự ( dạng) thì post lên cho em nha, thanks anh nhiềuBài dãy số thì cũ rồi nhưng cũng khá hay
Chuyển phương trình về dạng : $f(x) \ = \ x^{2n+1} \ - \ x \ - \ 1 \ = \ 0$
Ta có $f(x)$ là hàm sơ cấp xác định trên $R$ nên liên tục trên $R$
mà $f(1) \ = \ -1 < 0$ và $\lim_{x \ \to \ + \infty}^{} f(x) \ = \ \ + \infty $
nên phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm trên $(1 \ , \ + \infty \)$
$f'(x) \ = \ (2n+1)x^{2n} \ - \ 1 > 0$ với $x \ \geq \ 1$
$ \Rightarrow f(x)$ là hàm đơn điệu tặng trên $[1 \ , \ + \infty \)$
$ \Rightarrow $ phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm duy nhất $x_n$ trên $(1 \ , \ \infty \)$
$ *$ với $0 \ \leq \ x \ < 1$ hay $x \ \leq \ -1$thì $x^{2n +1} \ -\ x \ = \ x \( x^{2n} \ - \ 1 \) \ \leq \ 0 $
$ \Rightarrow f(x) \ < \ 0$
$*$ với $-1 <x < 0$ thì $x \(x^{2n} -1 \) = \| x \(x^{2n} -1 \) \| = |x \( 1 \ - \ x^{2n} \)| \ < \ |x| \ < \ 1 \Rightarrow f(x) \ < \ 0 $
nên phương tình vô nghiệm trên $\( - \infty \ , \ 1 ]$
$ \Rightarrow $ phương trình $f(x) \ = \ 0$ có nghiệm duy nhất $x_n \forall n \in N^{*}$
Ta có $x^{2n+1}_n \ = \ x_n \ + \ 1$
$ \Rightarrow x_n \ = \ \sqrt[2n+1]{x_n +1 } $
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy $ cho $2n +1 $ số dương ta có
$ \sqrt[2n+1]{x_n +1 } \ = \ \sqrt[2n+1]{\( x_n +1 \) 1...1} \ < \ \dfrac{x_n \ + \ 1 \ + \ 2n }{2n +1}$
$ \Rightarrow x_n < \dfrac{x_n}{2n+1} \ + \ 1$
$ \Rightarrow x_n \ < \ \dfrac{2n+1}{2n} $
Ta thu được bất đẳng thức kép : $1 \ < \ x_n \ < \dfrac{2n+1}{2n}$
Mà $\lim_{n \to \ + \infty} 1 \ = \ \lim_{n \to \ + \infty} \dfrac{2n +1}{2n} \ = \ 1 $
Nên theo định lý "giới hạn kẹp " ta có
$\lim_{n \to \ + \infty} x_n \ = \ 1 $
We will always have STEM with us. Some things will drop out of the public eye and will go away, but there will always be science, engineering, and technology. And there will always, always be mathematics.
Edited by 123455, 22-09-2009 - 23:44.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users