4 replies to this topic

[thihoa_94]

Cho $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3 \\ y^2+yz+z^2=16\end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng: $ xy+yz+zx \le 8 $

Edited by sieuthamtu_sieudaochit, 27-04-2009 - 15:30.

[vuthanhtu_hd]

Cho x^2+xy+y^2=3 và y^2+yz+z^2=16.Chứng minh rằng: xy+yz+zx =< 8

Xét
$ \vec{u} (y+\dfrac{x}{2} ; \dfrac{\sqrt{3}}{2}x )$

$ \vec{v} (\dfrac{\sqrt{3}}{2} z ; y+\dfrac{z}{2})$ thì

$|\vec{u}|=\sqrt{x^2+xxy+y^2}=\sqrt{3}$

$|\vec{v}|=\sqrt{y^2+yz+z^2}=4$

$\vec{u}\vec{v}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} (xy+yz+zx)$

chú ý $\vec{u}\vec{v} \leq |\vec{u}\vec{v}|$ ta có đpcm

Edited by vuthanhtu_hd, 09-05-2009 - 21:51.

[Dang Viet Trung]

Ta có
$xy + yz + xz = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right) + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}z\left( {y + \dfrac{x}{2}} \right)} \right) \le \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt {\left( {x^2 + xy + y^2 } \right)\left( {y^2 + yz + z^2 } \right)} = 8$

[vuthanhtu_hd]

Ta có
$xy + yz + xz = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x\left( {y + \dfrac{z}{2}} \right) + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}z\left( {y + \dfrac{x}{2}} \right)} \right) \le \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\sqrt {\left( {x^2 + xy + y^2 } \right)\left( {y^2 + yz + z^2 } \right)} = 8$

Cách dùng Cauchy-Schwart này hay đấy! Thú vị hơn cách vec tơ ở trên

Edited by vuthanhtu_hd, 24-11-2008 - 16:11.

[caubetoanhoc94]

Thế này cũng đc
Ta sẽ cm:
$3(y^2+yz+z^2)+16(x^2+y^2+xy) \ge 12(xy+yz+zx)$ Đúng
Nếu ko nhầm