Cho $\ p $ là số nguyên tố lẻ ,$\ a $ là số nguyên sao cho $\(a,p)=1 $ .Xét dãy {$\ ka $} với $\ k=1,2,...,\dfrac{p-1}{2} $ . Giả sử $\ ka \equiv r_{k} ( {mod p }) , 1\leq r_{k}\leq p $ . Gọi $\ n $ là các số $\ r_{k} $ nằm trong $\ (\dfrac{p}{2};p) $ .
Chứng minh rằng : $\ a^{\dfrac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{n}(mod p ) $.
#1
Đã gửi 23-11-2008 - 08:28
mai quoc thang
-
- Thành viên
-
- 251 Bài viết
Thắng yêu Dung
#2
Đã gửi 24-11-2008 - 17:25
Allnames
-
- Thành viên
-
- 92 Bài viết
Hạ sĩ
Cái này là tính chất cơ bản của số chính phương,tất cả các sách về số đều nói rồi mà bạn
Mọi người đều có một niềm tin và hãy giữ cho niềm tin ấy đươc sống mãi
#3
Đã gửi 24-11-2008 - 19:05
tanlsth
-
- Hiệp sỹ
-
- 1428 Bài viết
Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán
Chứng minh cũng đơn giản thôi.
Để ý rằng $r^2_i \neq r^2_j (mod p) ,\forall i \neq j$ nên lấy tích các vế đồng dư $ka \equiv r_k (mod p)$ ta có
$(\dfrac{p-1}{2})!a^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv r_1r_2..r_{\dfrac{p-1}{2}} (mod p)$
Nếu $r_i>\dfrac{p-1}{2}$ thì ta chuyển về thành $-(p-r_i)$ và ta sẽ có $(\dfrac{p-1}{2})!a^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv r_1r_2..r_{\dfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n(\dfrac{p-1}{2})! (mod p)$
Suy ra $a^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n (mod p)$
Để ý rằng $r^2_i \neq r^2_j (mod p) ,\forall i \neq j$ nên lấy tích các vế đồng dư $ka \equiv r_k (mod p)$ ta có
$(\dfrac{p-1}{2})!a^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv r_1r_2..r_{\dfrac{p-1}{2}} (mod p)$
Nếu $r_i>\dfrac{p-1}{2}$ thì ta chuyển về thành $-(p-r_i)$ và ta sẽ có $(\dfrac{p-1}{2})!a^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv r_1r_2..r_{\dfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n(\dfrac{p-1}{2})! (mod p)$
Suy ra $a^{\dfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^n (mod p)$
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
