Đến nội dung


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển HSG TP HCM ( 2008-2009)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:......

Đã gửi 27-11-2008 - 23:10

Đề thi ngày 27/11/2008
Bài 1: Giài hệ phương trình:
$\left{\begin{2(x^3 - y^3) - x(x+1)(x-2) =1}\\{2(y^3 - z^3) - y(y+1)(y-2) =1}\\{2(z^3 -x^3) - z(z+1)(z-2) =1}$

Bài 2: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa : $\ a+b+c\geq\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$
c/m: $\ a+b+c\geq \dfrac{3}{a+b+c} + \dfrac{2}{abc} $

Bài 3:Cho tam giác ABC vuông tại A. Dlà điểm di động trên cạnh AC. Đường tròn (O) đường kính BDcắt BC tại điểm thứ hai là P. Đường cao vẽ từ A cùa tam giác ABD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi F là giao điểm của CE và DP. I là giao điểm của AF và DE. Đường thẳng qua I song song DP cắt đường trung trực AI tại M. C/m M di động trên 1 đường cố định khi D di động trên AC.

Bài 4:
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O. MẶt phẳng (Q) vuộng góc OA, cắt AB,AC,AD tại M,N,P. c/m B,C,D,M,N,P cùng thuộc 1 mặt cầu.

Bài 5:Tìm tất cả các hàm f: R-> R thoả:
f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1 , với mọi x,y thuộc R

BÀi 6: Cho số thực x,y,z thỏa :
$\left{\begin{x\ge y \ge z \ge 1}\\{2y + 3z \ge 6}\\{11x+27z \ge 54}$
Tìm giá trị lớn nhất P(x,y,z)= $\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2008}{y^2} + \dfrac{2009}{z^2}$

Bài 7: Cho đa thức $P_k (x) =1 - x + x^2 - x^3 + ... + (-1)^{k-1} x^{k-1}$ , k nguyên dương
c/m: $\sum_{k=1}^n C_n^k P_k (x)= 2^{n-1} P_n (\dfrac{x-1}{2} )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 28-11-2008 - 20:54


#2 KhùngLãoQuái

KhùngLãoQuái

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Đã gửi 27-11-2008 - 23:45

Bài 2 : Chắc là bài của thầy Phú Sỹ

Ý tưởng chung theo thông lệ vẫn là đồng nhất về bậc

$ a+b+c \ \geq \ \dfrac{1}{a} \ + \ \dfrac{1}{b} \ + \ \dfrac{1}{c} $ $ :)$

$ \Rightarrow abc(a+b+c) \ \geq \ ab + bc \ + \ ca $


$ \Rightarrow abc \ \geq \ \dfrac{ab + bc \ + \ ca}{a+b+c}$

$ \dfrac{2}{abc} \ \leq \ \dfrac{2(a+b+c)}{ab+bc+ca} $

Đồng thời sử dụng giả thiết $:D $ ta đưa bđt cần cm về dạng :

$\dfrac{1}{a} \ + \ \dfrac{1}{b} \ + \ \dfrac{1}{c} \ \geq \ \dfrac{3}{a+b+c} \ + \ \dfrac{2(a+b+c)}{ab+bc+ca} $

$ \Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{a} \ + \ \dfrac{1}{b} \ + \ \dfrac{1}{c} \right)(a+b+c) \ \geq \ 3 \ + \ \dfrac{2(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca} $

$ \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} +\dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{c} \ \geq \ \dfrac{2(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca} $

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do : $ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} +\dfrac{c}{a} \ = \ \dfrac{a^2}{ab} + \dfrac{b^2}{bc} +\dfrac{c^2}{ca} \ \geq \ \dfrac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca} $


Tương tự $ \dfrac{b}{a} + \dfrac{c}{b} +\dfrac{a}{c} \ = \ \dfrac{b^2}{ab} + \dfrac{c^2}{bc} +\dfrac{a^2}{ca} \ \geq \ \dfrac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhùngLãoQuái: 27-11-2008 - 23:53


#3 mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:......

Đã gửi 27-11-2008 - 23:49

Bài 1: Giài hệ phương trình:
$\left{\begin{2(x^3 - y^3) - x(x+1)(x-2) =1}\\{2(y^3 - z^3) - y(y+1)(y-2) =1}\\{2(z^3 -x^3) - z(z+1)(z-2) =1}$ :)

Hệ :D tương đương với : $\left{\begin{x^3+x^2+2x-1=2y^3=f(x)}\\{y^3+y^2+2y-1=2z^3=f(y)}\\{z^3+z^2+2z-1=2x^3=f(z)}$.
Với $\ f(t)=t^3+t^2+2t-1 $ với mọi t thuộc R .
Ta thấy $\ f^{'}(t)=3t^2+2t+2>0 $ với mọi t thuộc R nên hàm f đồng biến trên R .
Không mất tính tổng quát giả sử x=max{x,y,z}.
Từ $\ x \geq z \Leftrightarrow f(x)\geq f(z) \Leftrightarrow 2y^3\geq 2x^3 \Leftrightarrow y\geq x $ (1)
Mà ta có : $\ x\geq y $. (2)
Từ (1) và (2) suy ra x=y .
Ta có : $\ x=y \Leftrightarrow f(x)=f(y) \Leftrightarrow y=z $ .
Vậy ta có
$\ x=y=z $ .
Tới đây giải pt bậc ba thui ^^ .

#4 mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:......

Đã gửi 28-11-2008 - 09:53

Bài 7:
Đặt: $\ A=\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}P_{k}(x) $ và $\ B=2^{n-1}P_{n}(\dfrac{x-1}{2}) $

Với mọi x khác -1 ta có : $\ 1-(-x)^{k}=(1+x).P_{k}(x) $ .

Ta có : $\ (1+x)A=\sum_{k=1}^{n}C_{n}^{k}(1-(-x)^{k})=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}(1-(-x)^{k})= 2^{n}-(1-x)^{n} $ . (1)

Và : $\ (1+x)B=2(1+\dfrac{x-1}{2})2^{n-1}P_{n}(\dfrac{x-1}{2})=2^{n}-(1-x)^{n} $. (2)

Từ (1) và (2) ta có : A=B với mọi x khác -1 . Nhưng A và B là các đa thức bậc khác 0 nên ta có đpcm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 29-11-2008 - 07:09


#5 hongthaidhv

hongthaidhv

    GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái

  • Thành viên
  • 442 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh Uni
  • Sở thích:Math: Inequality, function equation And football (MU is mylife)

Đã gửi 28-11-2008 - 16:19

Bài 5:Tìm tất cả các hàm f: R-> R thoả:
f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1 , với mọi x,y thuộc R

Bài này mình làm thế này hok bít có đúng hok nữa à. Thế $f(y)$ bởi $x$ ta có $f(0)=f(x) +x^2 +f(x) -1 => x^2 +2f(x) -1-f(0)=0$. Thay $x=y=0$ ta sẽ có đc $f(0)=1 => f(x) =1- \dfrac{x^2}{2}$. Thử lại thấy thoả mản ( hihi, hắn cứ a răng à, mọi người xem lại thử nha)
M.Lê Hồng Thái
La classe des Matériaux Avancés - Groupe des Écoles des Mines (GEM)
Mél: [email protected]
Y!M: turjnto_le
Facebook: http://www.facebook.com/hongthai.le
Télé: +84(0)936 431 156
+84(0) 979 646 777

#6 seven

seven

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Đã gửi 28-11-2008 - 18:43

ủa đây mới là đề vòng 1 thôi mà ,chưa phải là đề vòng 2

#7 mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:......

Đã gửi 29-11-2008 - 07:30

Bài 6:
Ta có : $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2008}{y^2}+\dfrac{2009}{z^2} = (\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2})+2008(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} ) $

Từ $ 2y+3z \geq 6 <=> 4y^2+9z^2 \geq 18 <=> 1+\dfrac{9z^2}{4y^2} \geq \dfrac{9}{2y^2} <=> \dfrac{4}{9}+\dfrac{z^2}{y^2} \geq \dfrac{2}{y^2} $

Ta có : $ \dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} = \dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{1}{y^2} = \dfrac{2}{y^2} + \dfrac{1}{z^2}(1-\dfrac{z^2}{y^2}) \leq \dfrac{4}{9}+\dfrac{z^2}{y^2} +1 - \dfrac{z^2}{y^2} = \dfrac{13}{9} $

Đẳng thức xảy ra khi $ z=1 ; y= \dfrac{3}{2} $ :)

Tương tự ta cũng có $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}\leq \dfrac{850}{729} $

Và đẳng thức xảy ra khi $ z=1 ; x= \dfrac{27}{11} $ . (**)

Từ :D và (**) ta có : $\ max P(x,y,z)=\dfrac{2115274}{729}$.

Đẳng thức xảy ra $\ x=\dfrac{27}{11};y=\dfrac{3}{2};z=1$.

#8 lucky_luke

lucky_luke

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LHP HCM

Đã gửi 29-11-2008 - 10:55

He he,bài 2 ko phải là của Phú Sỹ đâu,biết bài Không gian của Gia Định,bài 7 của TĐN,bài 1 của Sở thì phải???

#9 KhùngLãoQuái

KhùngLãoQuái

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Đã gửi 30-11-2008 - 15:21

Bài 4 năm nay có thể đáng giá là khó nhất đề , Sau đây là lời giải trong đáp án :

Ta có $ f(x - f(y)) \ = \ f(f(y)) \ + \ xf(y) \ + \ f(x) \ - \ 1 \forall x \ , \ y \in R$

Đặt $ f(0) \ = \ a$

Thay $x $ bởi $f(y) $ ta thu được :

$a \ = \ 2f(f(y)) \ + \ (f(y))^{2} \ - \ 1$

$ \Rightarrow f(f(y)) \ = \ \dfrac{-(f(y))^{2}}{2} \ + \ \dfrac{a+1}{2} \ \forall \ y \ \in \ R$

$ \Rightarrow f(f(x)) \ = \ \dfrac{-(f(x))^{2}}{2} \ + \ \dfrac{a+1}{2} \ \forall \ x \ \in \ R$$(1) $


Thay $x $ bởi $f(x) $ ta thu được :

$ f(f(x) \ - \ f(y)) \ = \ f(f(y)) \ + \ f(x)f(y) \ + \ f(f(x)) \ - \ 1$

$ \Rightarrow f(f(x) \ - \ f(y)) \ = \ \dfrac{-(f(y))^{2}}{2} \ + \ \dfrac{a+1}{2} \ + \ \dfrac{-(f(x))^{2}}{2} \ + \ \dfrac{a+1}{2} \ + \ f(x)f(y) \ - \ 1 $

$ \Rightarrow f(f(x) \ - \ f(y)) \ = \ \dfrac{-(f(x) \ - \ f(y))^{2}}{2} \ + \ a \ \forall \ x,y \ \in \ R$$:) $

Do $ f(x) \ = \ 0 \ \forall \ x \ \in \ R $ không phải là $1 $ nghiệm hàm nên suy ra

$ \exists y_0 \ \in \ R \ : \ f(y_0) \ \neq \ 0 $


Thay $y$ bởi $y_0 $ ta thu được :


$ f(x - f(y_0)) \ - \ f(x) \ = \ f(f(y_0)) \ + \ xf(y_0) \ - \ 1 \forall x \ \in \ R$ $ (2)$

Khi $x $ chạy qua $ R$ thì vế phải của $ (2)$ là hàm bậc nhất theo biến $x $

( do $ f(y_0) \ \neq \ 0 $) nên có tập giá trị là $ R$ . Từ đó suy ra là :

Với mọi số thực $x $ đều tồn tại các số thực $u,v $ thỏa mãn :

$x \ = \ f(u) \ - \ f(v) $

Theo $:D $ ta có :

$f(x) \ = \ f(f(u) \ - \ f(v)) \ = \ \dfrac{-(f(u) \ - \ f(v))^{2}}{2} \ + \ a $

$ \Rightarrow f(x) \ = \ \dfrac{-x^{2}}{2} \ + \ a \forall \ x \ \in \ R$

$\Rightarrow f(f(x)) \ = \ \dfrac{-(f(x))^{2}}{2} \ + \ a \forall \ x \ \in \ R $

So sánh với kết quả thu được ở $(1) $ ta được :

$a \ = \ \dfrac{a+1}{2} \Rightarrow a \ = \ 1$

$ \Rightarrow f(x) \ = \ \dfrac{-x^{2}}{2} \ + \ 1 \forall \ x \ \in \ R$

Thử lại thì hàm số này thỏa mãn bài toán nên nó cũng là nghiệm hàm duy nhất

Post bài mệt quá nè trời , huhu




Hero TVƠ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhùngLãoQuái: 30-11-2008 - 15:22


#10 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 30-11-2008 - 18:41

Thế $f(y)$ bởi $x$ ta có $f(0)=f(x) +x^2 +f(x) -1 => x^2 +2f(x) -1-f(0)=0$.

Sai ở chỗ này em này. $x$ chỉ đúng với các giá trị có dạng $f(y)$ thôi, không phải mọi $x$.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#11 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 30-11-2008 - 18:42

Bài trên cũng thuộc loại phương trình hàm cũ rồi. Nói chung các bài này đều đã xuất hiện từ lâu, đề không mới.

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#12 hongthaidhv

hongthaidhv

    GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái

  • Thành viên
  • 442 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh Uni
  • Sở thích:Math: Inequality, function equation And football (MU is mylife)

Đã gửi 30-11-2008 - 20:14

Sai ở chỗ này em này. $x$ chỉ đúng với các giá trị có dạng $f(y)$ thôi, không phải mọi $x$.

nhưng em thế f(y) bởi x thui mà anh, đâu phải lấy x=f(y)
M.Lê Hồng Thái
La classe des Matériaux Avancés - Groupe des Écoles des Mines (GEM)
Mél: [email protected]
Y!M: turjnto_le
Facebook: http://www.facebook.com/hongthai.le
Télé: +84(0)936 431 156
+84(0) 979 646 777

#13 tanlsth

tanlsth

    Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1428 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Japan

Đã gửi 30-11-2008 - 22:30

nhưng em thế f(y) bởi x thui mà anh, đâu phải lấy x=f(y)

Nói thế thì anh chịu rồi.Nghĩ kĩ lại đi. Thế sau khi thế thì $x$ có dạng gì hở em :)

Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning


#14 duca1pbc

duca1pbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh

Đã gửi 30-11-2008 - 22:36

Bài này mình làm thế này hok bít có đúng hok nữa à. Thế $f(y)$ bởi $x$ ta có $f(0)=f(x) +x^2 +f(x) -1 => x^2 +2f(x) -1-f(0)=0$. Thay $x=y=0$ ta sẽ có đc $f(0)=1 => f(x) =1- \dfrac{x^2}{2}$. Thử lại thấy thoả mản ( hihi, hắn cứ a răng à, mọi người xem lại thử nha)

Chết thật.Học PTH bao nhiêu năm rồi mà bây h thế f(y) bởi x thế hả cu.Đã học định nghĩa toàn ánh là gì chưa hả :)

Bài hàm này tư tưởng chỉ có chứng minh $f(x)-f(y) $ là hàm toàn ánh và $f(f(x)-f(y))=a-\dfrac{(f(x)-f(y))^2}{2} $thôi :D

#15 hongthaidhv

hongthaidhv

    GS-TSKHVMF. Lê Hồng Thái

  • Thành viên
  • 442 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Special high school for Gifted pupil of Vinh Uni
  • Sở thích:Math: Inequality, function equation And football (MU is mylife)

Đã gửi 01-12-2008 - 21:12

Chết thật.Học PTH bao nhiêu năm r?#8220;i mà bây h thế f(y) bởi x thế hả cu.Đã học định nghĩa toàn ánh là gì chưa hả :)

Bài hàm này tư tưởng chỉ có chứng minh $f(x)-f(y) $ là hàm toàn ánh và $f(f(x)-f(y))=a-\dfrac{(f(x)-f(y))^2}{2} $thôi :D

Dạ cấp 3 em học PTH thầy dạy vừa đúng 1 hôm ( 3 tiết) ạ, toàn ánh thì chưa học hôm nào ( kaka). Nhưng em đọc nhiều sách ( thầy PHK) thấy có bài thế như lày mà, em đã suy nghĩ kĩ lém rùi anh, thấy mấy bài cũng có cái gì đó chung chung ( hơi xa xôi bắn đại bác không đến). Nếu mấy anh nói là"Fasl" thì em đoán là nó sai còn em cũng không bít là nó sai lỗ mô, từ lay hok làm thế lày nữa ( đề phòng sai) ( hihi)
M.Lê Hồng Thái
La classe des Matériaux Avancés - Groupe des Écoles des Mines (GEM)
Mél: [email protected]
Y!M: turjnto_le
Facebook: http://www.facebook.com/hongthai.le
Télé: +84(0)936 431 156
+84(0) 979 646 777

#16 vuthanhtu_hd

vuthanhtu_hd

    Tiến sĩ Diễn Đàn Toán

  • Hiệp sỹ
  • 1189 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:ngủ ^^

Đã gửi 01-12-2008 - 23:14

Nhưng em đọc nhiều sách ( thầy PHK) thấy có bài thế như lày mà,


Ặc chắc em chưa xem kĩ ,anh chưa thấy ở đâu thế kiểu vậy

Thế x bởi f(y) còn chấp nhận được :)

Nếu một ngày bạn cảm thấy buồn và muốn khóc,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi không hứa sẽ làm cho bạn cười nhưng có thể tôi sẽ khóc cùng với bạn.
Nếu một ngày bạn muốn chạy chốn tất cả hãy gọi cho tôi.
Tôi không yêu cầu bạn dừng lại nhưng tôi sẽ chạy cùng với bạn.
Và nếu một ngày nào đó bạn không muốn nghe ai nói nữa,hãy gọi cho tôi nhé.
Tôi sẽ đến bên bạn và chỉ im lặng.
Nhưng nếu một ngày bạn gọi đến tôi mà không thấy tôi hồi âm...
Hãy chạy thật nhanh đến bên tôi vì lúc đó tôi mới là người cần bạn.

______________________
__________________________________
Vu Thanh TuUniversity of Engineering & Technology


#17 phandung

phandung

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 252 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khối THPT chuyên Đại học Vinh

Đã gửi 01-12-2008 - 23:43

Đề thi ngày 27/11/2008


Bài 5:Tìm tất cả các hàm f: R-> R thoả:
f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1 , với mọi x,y thuộc R

[

Có thể giải theo hướng này
Gọi A là tập sao cho với a thuộc A thì có a=f(y) và a=x khi đóa ta chứng minh với mỗi x thuộc R thì tồn tại a. b thuộc A mà x=a-b

#18 wings106

wings106

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 13-02-2014 - 21:15

Bài 6:
Ta có : $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2008}{y^2}+\dfrac{2009}{z^2} = (\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2})+2008(\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} ) $

Từ $ 2y+3z \geq 6 <=> 4y^2+9z^2 \geq 18 <=> 1+\dfrac{9z^2}{4y^2} \geq \dfrac{9}{2y^2} <=> \dfrac{4}{9}+\dfrac{z^2}{y^2} \geq \dfrac{2}{y^2} $

Ta có : $ \dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} = \dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{1}{y^2} = \dfrac{2}{y^2} + \dfrac{1}{z^2}(1-\dfrac{z^2}{y^2}) \leq \dfrac{4}{9}+\dfrac{z^2}{y^2} +1 - \dfrac{z^2}{y^2} = \dfrac{13}{9} $

Đẳng thức xảy ra khi $ z=1 ; y= \dfrac{3}{2} $ leluoi.gif

Tương tự ta cũng có $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}\leq \dfrac{850}{729} $

Và đẳng thức xảy ra khi $ z=1 ; x= \dfrac{27}{11} $ . (**)

Từ image075.gif và (**) ta có : $\ max P(x,y,z)=\dfrac{2115274}{729}$.

Đẳng thức xảy ra $\ x=\dfrac{27}{11};y=\dfrac{3}{2};z=1$.

Sao $ \dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2} = \dfrac{2}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}-\dfrac{1}{y^2} được vậy a?  Và còn  $ \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{z^2}\leq \dfrac{850}{729} $  nữa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wings106: 13-02-2014 - 21:16





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh