1 reply to this topic

[mai quoc thang]

Híc .... không có bài nào mới hết .... lấy đại một bài trong sách ra tặng cu Lộc .... ( làm đỡ đi nha mày ) ...

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $ a,b,c $ ta có :

$ 3(a+b+c) \geq 2(\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab})$

[vuthanhtu_hd]

Híc .... không có bài nào mới hết .... lấy đại một bài trong sách ra tặng cu Lộc .... ( làm đỡ đi nha mày ) ...

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $ a,b,c $ ta có :

$ 3(a+b+c) \geq 2(\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab})$

Bài này nhớ không nhầm thì là của anh Hùng

Giả sử $a \geq b\geq c$ thì
$2(\sqrt{a^{2}+bc}+\sqrt{b^{2}+ca}+\sqrt{c^{2}+ab}) \leq 2\sqrt{a^{2}+bc}+2sqrt{2(b^2+c^2)+2a(b+c)}$

ta cm
$2\sqrt{a^{2}+bc}+2sqrt{2(b^2+c^2)+2a(b+c)} \leq 3(a+b+c)$

Đặt $t=\dfrac{b+c}{2}$ ,bình phương 2 vế B.Đ.T trên ta đưa được về dạng tương đương sau

$(a-2t)^2+20bc \geq 12(a+2t)(\sqrt{a^2+bc}-a)$ (1)

chú ý rằng $a \geq t$ nên $(a-2t)^2+2bc+\dfrac{12(a-t)bc}{a} \geq 0

\Rightarrow (a-2t)^2+20bc \geq \dfrac{6(a+2t)bc}{a}$

Vì $\sqrt{a^2+bc}-a=\dfrac{bc}{a+\sqrt{a^2+bc}} \leq \dfrac{bc}{2a}$

nên ta có (1) .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b ,c=0$ và các hoán vị

Edited by vuthanhtu_hd, 03-12-2008 - 17:04.