bài 1:Tìm x;y sao cho:
a) 1!+2!+3!+4!+....+x!=y^2
b) 2^x + 5^y là số chính phương
bài 2:CMR:với mọi số tự nhiên n tổng:
2^0+2^1+2^2+....+2^(5n-3)+2^(5n-2)+2^(5n-1) chia hết cho 31
bài 3:CMR :số 100...001 (với chẵn chữ số 0) chia hết cho 11
Anh chỉ giải sơ thui, em cố làm tiếp nha:
bài 1: a, Xét $x \geq 5 => x!$ có tận cùng là $0 => 1! +2!+..+x!$ có tận cùng bằng $1+2+6+4=3$, mặt khác dễ thấy một số chính phương không thể có tận cùng bằng $3 => x \leq 4$. Đến đây em làm tiếp nha.
b,: ta có $2^x + 5^y \equiv (-1)^x+(-1)^y ( mod3)$, dễ thấy một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 => $2^x+5^y$ phải chia hết cho $3$ hay $x$ và $y$ khác tính chẵn lẽ.
Xét $x=2k$ và $y=2m+1$ với $k>0\ , m>0$. Ta có $2^x + 5^y = 4^k + 25^m5$ . Khi $k>1$ thì $4^k$ chia hết cho $8 => 2^x + 5^y \equiv 5 ( mod 8)$ do $25^m \equiv 1 ( mod8)$ , vô lí do một số chính phương chỉ có thể chia $8$ dư $0,1,4 => k=1 => x=2$ . Rùi đến đó đơn giản rùi
bài 2: bài này thì quá easy rùi còn chi, ta có tổng trên bằng $2^{5n} -1$ ( chứng minh nầy, đặt tổng là A ta có 2A rùi lấy 2A-A=A), ta có $2^{5n} -1 = 32^n -1 \equiv 0 ( mod 31)$ với mọi $n$
bài 3: bài này ta có thể khái quát cho tính chất (dấu hiệu ) chia hết của $11$
Ta có số tự nhiên $
a_{n-1}.... a_{1} = a_{n}10^n + a_{n-1}10^{n-1} +... +a_{1} \equiv \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k a_{k}$
Lấy ví dụ là bài trên, ta giả sử số trên có $2n+2$ chử số, ta có $100..01 = 10^{2n+1}+1 \equiv 0 ( mod 11)$