Chủ đề này có 15 trả lời

[quytuan]

Trong một cuốn sách có bài toán và lời giải thế này khiến tôi băn khoăn
Giải hệ phương trình sau
$x+\sqrt{x^2-2x+2}={3}^{y-1}+1$
$y+\sqrt{y^2-2y+2}={3}^{z-1}+1$
$z+\sqrt{z^2-2z+2}={3}^{x-1}+1$
Lời giải:
Đặt $\left{\begin {X=x-1}\\{Y=y-1}\\{Z=z-1}$
Hệ đã cho trở thành:
$\left{\begin {X+\sqrt{X^2+1}=3^Y}\\{Y+\sqrt{Y^2+1}=3^Z}\\{Z+\sqrt{Z^2+1}=3^X}$
Giả sử $X\ge Y\ge Z$ thì từ hệ suy ra $Y\ge Z\ge X$
$\Rightarrow X=Y=Z$, thay vào hệ pt ta có:
$X+\sqrt{X^2+1}=3^X (1)$
Lại thấy nếu $X=X_0$ là nghiệm của pt (1) thì $X=-X_0$ cũng là nghiệm nên ta chỉ tìm nghiệm $X\ge 0$ của (1), cụ thể như sau:
Đặt $f(t)=3^t-t-\sqrt{t^2+1}$
$\Rightarrow f'(t)=3^tln3-1-\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}=3^tln3-\dfrac{t+\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{t^2+1}}$
Trên tập nghiệm của (1) ta có: $3^t=t+\sqrt{t^2+1}$ nên
$f'(t)=3^t(ln3-\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}})>0$. Suy ra pt chỉ có nghiệm duy nhất $t=0$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=z=1$

[dcmtltvclh]

câu hỏi băn khoăn là gì vậy????

[MrMATH]

Giả sử $X\ge Y\ge Z$ thì từ hệ suy ra $Y\ge Z\ge X$

[quytuan]

Băn khoăn chỗ này.Mong các cao thủ sớm giải đáp
$\Rightarrow f'(t)=3^tln3-1-\dfrac{t}{\sqrt{t^2+1}}=3^tln3-\dfrac{t+\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{t^2+1}}$
Trên tập nghiệm của (1) ta có: $3^t=t+\sqrt{t^2+1}$ nên
$f'(t)=3^t(ln3-\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}})>0$. Suy ra pt chỉ có nghiệm duy nhất $t=0$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quytuan: 31-12-2008 - 22:07

[tanlsth]

Chỗ này thì sai thật rồi

[quytuan]

Chỗ này thì sai thật rồi

Tác giả của cách giải này giải thích như sau .Các cao thủ tiếp tục bình luận nhé

- Anh lấy đạo hàm của $f(t)$ trong miền xác định vậy thì hiển nhiên $f'(t)$ tồn tại trong miền nghiệm. Vì miền nghiệm bao giờ cũng là tập con của miền xác định.
- Anh chỉ chứng minh $f'(t)>0$ trong miền giá trị của pt chứ không chứng minh trong toàn bộ miền xác định của pt đó
Đây là một ví dụ điển hình cho phương pháp đó, ta gọi là phương pháp thế trong giải pt:
VD: GPT $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}$
Ta có
$3x-2+3\sqrt[3]{(2x-1)(x-1)}(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1})=3x+1 (1)$
$ \Rightarrow \sqrt[3]{(2x-1)(x-1)(3x+1)}=1 (2)$
$ \Rightarrow (2x-1)(x-1)(3x+1)=1...$
Để ý khi biến đổi tương đương pt $(1)$ sang $(2)$ ta dùng phép thế $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}$. Như thế, cũng có nghĩa là tìm nghiệm của pt trong chính tập nghiệm của pt ấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quytuan: 01-01-2009 - 11:00

[tanlsth]

Tác giả của cách giải này giải thích như sau .Các cao thủ tiếp tục bình luận nhé

- Anh lấy đạo hàm của $f(t)$ trong miền xác định vậy thì hiển nhiên $f'(t)$ tồn tại trong miền nghiệm. Vì miền nghiệm bao giờ cũng là tập con của miền xác định.
- Anh chỉ chứng minh $f'(t)>0$ trong miền giá trị của pt chứ không chứng minh trong toàn bộ miền xác định của pt đó
Đây là một ví dụ điển hình cho phương pháp đó, ta gọi là phương pháp thế trong giải pt:
VD: GPT $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}$
Ta có
$3x-2+3\sqrt[3]{(2x-1)(x-1)}(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1})=3x+1 (1)$
$ \Rightarrow \sqrt[3]{(2x-1)(x-1)(3x+1)}=1 (2)$
$ \Rightarrow (2x-1)(x-1)(3x+1)=1...$
Để ý khi biến đổi tương đương pt $(1)$ sang $(2)$ ta dùng phép thế $\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{3x+1}$. Như thế, cũng có nghĩa là tìm nghiệm của pt trong chính tập nghiệm của pt ấy.

Không hiểu ai là tác giả của cách giải này mà sai nặng đến thế.
Bài trên ta chứng minh $f'(t)>0$ là phải trên miền xác định của bài toán còn người đó chỉ chứng minh nó lớn hơn không trên miền nghiệm của bài toán, quá gì là sai rồi.
Bài ví dụ thì là sử dụng giả thiết $x$ là nghiệm của phương trình để giải, bản chất khác hoàn toàn nhau. Không hiểu đang nghĩ cái quái gì nữa

[quytuan]

Thực ra cách này vừa nhìn phát em biết ngay là sai roài Tuy nhiên tác giả của cách này là một người đang học cao học mà lại cứ khăng khăng là nó đúng khiến em có phần nghi ngờ
các anh vào đây nha
http://vuontoan.co.c...hp?t=736&page=2
http://vuontoan.co.c...hp?t=736&page=5

[tanlsth]

Cao học chứ có phải là thánh đâu mà cái gì làm hay nói đều đúng cả. Đơn giản sai là sai thôi, mà là sai trầm trọng

[Asari]

Cao học chứ có phải là thánh đâu mà cái gì làm hay nói đều đúng cả. Đơn giản sai là sai thôi, mà là sai trầm trọng

Em thì nghĩ là đúng !
Anh Tân thế nhưng anh có thể chỉ được một hàm liên tục trên toàn trục bất kỳ có nhiều hơn 2 nghiệm mà đạo hàm tại mỗi nghiệm đó đều cùng dấu ( hoặc cụ thể là dương) không ạ ?
Nếu có thì em thấy đúng là sai rồi !

Còn cái cách mà tác giả lý luận thì đúng là em chả hiểu gì .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Asari: 03-01-2009 - 13:45

[Trịnh Công Sơn]

Cao học chứ có phải là thánh đâu mà cái gì làm hay nói đều đúng cả. Đơn giản sai là sai thôi, mà là sai trầm trọng

Giải thích chỗ sai cho tớ cái. Hay đơn giản sai vì chưa thấy làm như vậy.
Mà hơn nữa, tớ đã chứng minh hàm số đó đồng biến trên miền $3^t\ge t+\sqrt{t^2+1}$

[quytuan]

Em thì nghĩ là đúng !
Anh Tân thế nhưng anh có thể chỉ được một hàm liên tục trên toàn trục bất kỳ có nhiều hơn 2 nghiệm mà đạo hàm tại mỗi nghiệm đó đều cùng dấu ( hoặc cụ thể là dương) không ạ ?
Nếu có thì em thấy đúng là sai rồi !

Còn cái cách mà tác giả lý luận thì đúng là em chả hiểu gì .

Ý bạn là sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quytuan: 03-01-2009 - 17:46

[tanlsth]

Anh Tân thế nhưng anh có thể chỉ được một hàm liên tục trên toàn trục bất kỳ có nhiều hơn 2 nghiệm mà đạo hàm tại mỗi nghiệm đó đều cùng dấu ( hoặc cụ thể là dương) không ạ ?
Nếu có thì em thấy đúng là sai rồi !

Tất nhiên là không thể chỉ ra được rồi mà em. Nhìn cái là biết không tồn tại mà
Cái sai của bài này là chỉ xét đạo hàm trên tập nghiệm là chưa đủ. Tức là mới chỉ chứng minh được đạo hàm tại các điểm nghiệm là dương thôi. Để suy ra toàn bộ thì chưa đủ.
Cho cái hình minh họa 1 khả vi bất kì có dạng sau nhé.

Hình gửi kèm

• 

[Asari]

Nếu như thế thì xét đạo hàm trên miền nghiệm là đủ rồi nếu đạo hàm trên miền nghiệm luôn dương nghĩa là nó chỉ có 1 nghiệm thôi. Phải chưa anh?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Asari: 03-01-2009 - 22:11

[tanlsth]

Uh. Lúc đầu không hiểu ý định chứng minh của tác giả. Dù sao cái đoạn đó cũng phải nói rõ thêm chút vì dễ lầm tưởng
Cũng thật may là bài này sử dụng được cách này.

[quytuan]

Uh. Lúc đầu không hiểu ý định chứng minh của tác giả. Dù sao cái đoạn đó cũng phải nói rõ thêm chút vì dễ lầm tưởng
Cũng thật may là bài này sử dụng được cách này.

Thực ra tác giả không có ý định làm như thế đâu.mà tác giả định làm theo kiểu thế như pt kia ấy.Không may mà đúng thôi