Chủ đề này có 3 trả lời

[Gioongke.DC]

cho các số thực không âm $x,y,z $ thỏa mãn $ x+y+z =1$. chứng minh rằng :
$\dfrac{1}{{(1 + x)(3 - x)}} + \dfrac{1}{{(1 + y)(3 - y)}} + \dfrac{1}{{(1 + z)(3 - z)}} \le \dfrac{{11}}{{12}}$

[vuthanhtu_hd]

cho các số thực không âm $x,y,z $ thỏa mãn $ x+y+z =1$. chứng minh rằng :
$\dfrac{1}{{(1 + x)(3 - x)}} + \dfrac{1}{{(1 + y)(3 - y)}} + \dfrac{1}{{(1 + z)(3 - z)}} \le \dfrac{{11}}{{12}}$

Nhìn trông cũng đẹp nhưng nhẩm mãi ko tìm được điểm rơi

[tuan101293]

Đây là lời giải của mình:
$f(x,y,z)-f(x,y+z,0)=-\dfrac{zy(4y+10zy+8z^2+8y^2-8zy^2-8z^2y-2z^3-2y^3+y^3z+2z^2y^2+z^3y-42+4z)}{3(1+y)(y-3)(1+z)(z-3)(1+y+z)(-3+y+z)}$(chú ý là $x,y,z\leq 1$)
và chú ý rằng
biểu thức to to trong ngoặc :$4y+10zy+8z^2+8y^2-8zy^2-8z^2y-2z^3-2y^3+y^3z+2z^2y^2+z^3y-42+4z\leq 38-42<0$
suy ra
$f(x,y,z)\leq f(x,y+z,0)$
xét hiệu
$f(x,y+z,0)-\dfrac{11}{12}=\dfrac{-x(x-1)(7x^2-7x-32)}{12(1+x)(-3+x)(2+x)(-2+x)}\leq 0$
suy ra $f(x,y,z) max=\dfrac{11}{12}$
"=" khi y=z=0,x=1

[Gioongke.DC]

bài này sử dụng các nhận xét cơ bản như sau:(không cần dồn biến đâu bạn ^^)
$4VT=\sum \dfrac{1}{y+1}+\sum +\dfrac{1}{3-x}$

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{y + 1}} = \dfrac{1}{2}(1 + \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}) \le \dfrac{1}{2}(1 + 1 - x) = 1 - \dfrac{x}{2} \\
\dfrac{1}{{3 - x}} = \dfrac{1}{5}(3 - \dfrac{{3(1 - x)}}{{3 - x}}) \le \dfrac{1}{6}(3 - 1 + x) \\
\end{array}$

Cộng lại suy ra $VT \le \dfrac{11}{12}$ Q.E.D dấu đẳng thức xảy ra khi (x,y,z)=(0.0.1) và các hoán vị )