Cho a, b là các số nguyên dương không chính phương, ab cũng không chính phương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình
$\left\{\begin{array}{l}ax^2 - by^2 = 1\\ax^2 - by^2 = - 1\end{array}\right $
không có nghiệm nguyên dương
Vietnam TST 2009
Bắt đầu bởi duca1pbc, 21-04-2009 - 15:20
#1
Đã gửi 21-04-2009 - 15:20
#2
Đã gửi 24-04-2009 - 10:04
Bài này ko khó. Nắm vững lí thuyết pt pell là xong.Cho a, b là các số nguyên dương không chính phương, ab cũng không chính phương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình
$\left\{\begin{array}{l}ax^2 - by^2 = 1\\ax^2 - by^2 = - 1\end{array}\right $
không có nghiệm nguyên dương
#3
Đã gửi 11-05-2009 - 05:17
Có một bài toán gần tương đương trong AMM. Chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên dương sao cho x(y+1), y(x+1) là các số chính phương trình đúng một trong hai số x và y chính phương.
Lời giải của cả hai bài đều dựa trên cơ sở định lý sau:
Định lý. Nếu d không chính phương và phương trình Pell loại 2 $x^2 - dy^2 = - 1 (1)$ có nghiệm nguyên dương. Gọi (m, n) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (1) và gọi (a, b) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell kết hợp $x^2 - dy^2 = 1$. Khi đó ta có $ a = m^2 + dn^2, b = 2mn $.
Lời giải của cả hai bài đều dựa trên cơ sở định lý sau:
Định lý. Nếu d không chính phương và phương trình Pell loại 2 $x^2 - dy^2 = - 1 (1)$ có nghiệm nguyên dương. Gọi (m, n) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (1) và gọi (a, b) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell kết hợp $x^2 - dy^2 = 1$. Khi đó ta có $ a = m^2 + dn^2, b = 2mn $.
#4
Đã gửi 11-05-2009 - 11:04
lúc đầu em cũng làm theo ý tưởng này nhưng mà ko ra ,tức thế chứ lị
I hope for the best
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh