$(r+\dfrac{a}{b+c})(r+\dfrac{b}{c+a})(r+\dfrac{c}{a+b}) \ge (r+\dfrac{1}{2})^3$
Vietnam TST 2009
Bắt đầu bởi duca1pbc, 21-04-2009 - 15:24
#1
Đã gửi 21-04-2009 - 15:24
Tìm các giá trị của r để BDT sau đúng với mọi a,b,c dương:
#2
Đã gửi 21-04-2009 - 18:31
Cho a=b=1,c=0.ta duoc:
$4r^2+2r \geq 1$
ta c/m r thoa man thi bat dang thức đúng:
thật vậy:
đặt m=2k,$x=\dfrac{2a}{b+c},....$ ta được :$m^2+m \geq 1 ; \sum xy +xyz=4$ suy ra :$\sum x \geq \sum xy$
ta phải CM:
$(m+x)(m+y)(m+z)\geq (m+1)^3$
MÀ:
$(m+x)(m+y)(m+z)=m^3+ m^2(x+y+z)+m(xy+yz+zx) +xyz$
$\ge m^3+m^2(xy+yz+zx)+m(xy+yz+zx) +xyz$
$=m^3+(m^2+m-1)(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx+xyz)\ge m^3+(m^2+m-1)\cdot 3 +4 =(m+1)^3.$
ĐPCM
suy ra chỉ cần r thỏa mãn $4r^2+2r \geq 1$ là được
(Lời giải của VQBC)
$4r^2+2r \geq 1$
ta c/m r thoa man thi bat dang thức đúng:
thật vậy:
đặt m=2k,$x=\dfrac{2a}{b+c},....$ ta được :$m^2+m \geq 1 ; \sum xy +xyz=4$ suy ra :$\sum x \geq \sum xy$
ta phải CM:
$(m+x)(m+y)(m+z)\geq (m+1)^3$
MÀ:
$(m+x)(m+y)(m+z)=m^3+ m^2(x+y+z)+m(xy+yz+zx) +xyz$
$\ge m^3+m^2(xy+yz+zx)+m(xy+yz+zx) +xyz$
$=m^3+(m^2+m-1)(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx+xyz)\ge m^3+(m^2+m-1)\cdot 3 +4 =(m+1)^3.$
ĐPCM
suy ra chỉ cần r thỏa mãn $4r^2+2r \geq 1$ là được
(Lời giải của VQBC)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duca1pbc: 21-04-2009 - 19:31
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#3
Đã gửi 21-04-2009 - 19:01
a,b,c > 0 , tại sao lại thay c=0 vào đc
I hope for the best
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
#4
Đã gửi 21-04-2009 - 19:35
Cái này là cho $c \rightarrow 0 $thôi màa,b,c > 0 , tại sao lại thay c=0 vào đc
#5
Đã gửi 21-04-2009 - 19:37
sorry,đáng ra là c tiến đến 0:D
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#6
Đã gửi 22-04-2009 - 11:52
Thì mình đang lưu ý cậu trên ấy mà. Dần tới 0 mới đúngCái này là cho $c \rightarrow 0 $thôi mà
I hope for the best
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Chẳng có gì đáng giá bằng nụ cười và tình yêu thương của bạn bè
Trên bước đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
#7
Đã gửi 23-04-2009 - 19:56
$(r+ \dfrac{a}{b+c})(r+ \dfrac{b}{a+c})(r+ \dfrac{c}{a+b}) \ge min{(r+\dfrac{1}{2})^3,r(r+1)^2}$ ,)
#8
Đã gửi 11-05-2009 - 05:07
Bạn Secrets có thể chứng minh kết quả của bạn không?
Ở trong TST, đa số các bạn giải bài này bằng phương pháp SOS (tham khảo lời giải tại post: Vietnam TST 2009).
Ở trong TST, đa số các bạn giải bài này bằng phương pháp SOS (tham khảo lời giải tại post: Vietnam TST 2009).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh