Chủ đề này có 2 trả lời

[haictb]

Cho số nguyên tố p>3,m và n là 2 số nguyên tố cùng nhau sao cho
$\dfrac{m}{n}=(1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + ... + \dfrac{1}{{(p - 1)^2}})$
cmr: m chia hết cho p

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 05-05-2009 - 11:51

[Toanlc_gift]

cho so nguyen to p,p<3.m va n la 2 so nguyen to cung nhau sao cho m/n= 1/1^2 +1/2^2 +...+ 1/(p-1)^2
CMR:m chia het cho p

hix,bài này cũng gõ sai nữa,cũng là số nguyên tố p<3
đề như vầy phải hem:
cho số nguyên tố p>3,m và n là 2 số nguyên tố cùng nhau sao cho
$\dfrac{m}{n}=(1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + ... + \dfrac{1}{{(p - 1)^2}})$
cmr: m chia hết cho p
p/s: bạn nên họ gõ công thức đy

[FOOL90]

Lời giải

Đặt $T=((p-1)!)^2$

Khi đó $\dfrac{m}{n}= \sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{\dfrac{T}{i^2}}{T}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{T}{i^2}}{T}$
Do (m,n)=1 nên n là ước của T, mặt khác T không chia hết cho p nên $m \vdots p$ khi và chỉ khi $\sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{T}{i^2} $ $\vdots p$

Dễ thấy $T \equiv 1 (mod p)$, nên $\dfrac{T}{i^2} = j^2$ mà $(i.j)^2 \equiv 1(mod p).$
Lại có với mỗi i tồn tại duy nhất (j,p-j) sao cho $(i.j)^2 \equiv (i(p-j))^2 \equiv 1 (mod p)$
Do vậy $\sum\limits_{i=1}^{p-1} \dfrac{T}{i^2} \equiv \sum\limits_{j=1}^{p-1} j^2 = \dfrac{(p-1)p.(2p-1)}{6}$$ \vdots p$

Vậy ta có điều phải chứng minh